Contenu

• 6.1.1 Champ de vue observé
• 6.1.2 Champ de vue reconstruit et repliement
• 6.1.3 Champ de vue reconstruit et passage au repère terrestre

6.1 Champ de vue observé, champ de vue reconstruit

6.1.1 Champ de vue observé

Si les lobes arrières des antennes sont négligés, le radiomètre imageur à synthèse d'ouverture observe l'intégralité du demi-espace situé devant lui. Dans le repère des cosinus directeurs appelé aussi repère instrumental ou repère des antennes, cet espace est contenu dans le cercle unité (voir Fig. 6.2). L'étendue du champ de vue observé vaut alors $\Delta \xi = 2$ . A l'intérieur de ce cercle, la température d'antenne dépend de la contribution de la terre et de la portion visible de la voûte céleste, appelée simplement Ciel par la suite.

Or, la position et la forme de la terre à l'intérieur du cercle unité dépendent notamment de l'inclinaison $\alpha$ de l'instrument. Ce paramètre peut être ajusté de façon à augmenter la largeur de fauchée dans le champ de vue reconstruit PhilFOV. La figure 6.1 décrit les référentiels qui entrent en jeu lors de la paramétrisation de la position de la terre et du ciel dans le champ de vue observé. Rappelons que le déplacement de l'instrument se fait selon l'axe $Y$ .

Figure 6.1: Référentiels utilisés dans la caractérisation du champ de vue observé d'un RISO. Le déplacement se fait le long de l'axe Y. Il peut être choisi d'incliner le plan contenant le réseau interférométrique d'un angle $\alpha$ . Les cosinus directeurs $\xi$ et $\eta$ sont directement liés aux coordonnées polaires ($\rho$ ,$\theta$ ,$\phi$ ) désignant respectivement la distance à la source, la colatitude et l'azimut : $\xi = x/\rho = \sin \theta \cos \phi$ et $\eta = y/\rho = \sin \theta \sin \phi$ .

Cas $\alpha = 0$
Le repère considéré est alors $(OXYZ)$ . L'instrument étant situé à une altitude H, la position du point $M$ observé est définie par ses coordonnées cartésiennes $(x,y,z)$ ou par ses coordonnées polaires $(\rho,\theta ,\phi)$ où $\rho$ est la distance mesurée depuis $O$ , $\theta$ la colatitude et $\phi$ l'azimut. L'incidence en ce point est donnée par l'angle $i$ . Les cosinus directeurs sont alors :

$$\xi = \sin \theta \cos \phi$$ (6.1)

$$\eta = \sin \theta \sin \phi$$ (6.2)

L'horizon terrestre qui détermine la limite entre la terre et le ciel est caractérisé par une incidence $i=\theta _h$ . La colatitude pour les points de l'horizon est :

$$\sin \theta _h = \frac{R_T}{R_T+H}$$ (6.3)

où $R_T$ est le rayon de la terre supposée sphérique. Dans le repère des cosinus directeurs $(\xi,\eta)$ , la terre est alors un disque de rayon $r=\sin \theta _h$ centré en $(0,0)$ , dont le périmètre est caractérisé par l'équation de l'horizon terrestre :

$$\left(\frac{\xi}{\sin \theta _h} \right)^2 + \left(\frac{\eta}{\sin \theta _h} \right)^2 = 1$$ (6.4)

Cas $\alpha \leqslant \pi/2-\theta _h$
Pour $\alpha>0$ , le repère considéré est $(OX'Y'Z')$ et les cosinus directeurs sont $\xi'$ et $\eta'$ . Le passage du référentiel $(OXYZ)$ à ce référentiel se fait simplement à l'aide de la matrice de rotation d'angle $\alpha$ :

$$\left( \begin{array}{c} x' \\ y' \\ z' \end{array} \right) = \lef... ...a\\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right)$$ (6.5)

ce qui, pour les cosinus directeurs, revient à :

$$\xi' = \xi'$$ (6.6)

$$\eta' = \eta \cos \alpha - \sqrt{1-\xi ^2-\eta ^2} \sin \alpha$$ (6.7)

Le passage de $(OX'Y'Z')$ à $(OXYY)$ se fait simplement à l'aide de la matrice de rotation d'angle $-\alpha$ :

$$\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( ... ... \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x' \\ y' \\ z' \end{array} \right)$$ (6.8)

Dans le repère des cosinus directeurs, le passage d'un repère à l'autre se fait alors ainsi :

$$\left\{ \begin{array}{l} \xi = \xi' \\ \eta = \eta'\cos \alpha + \eta' \sin \alpha\\ \end{array}\right.$$ (6.9)

Dans le repère $(\xi',\eta')$ , la terre est alors délimitée par une ellipse de grand axe $\sin \theta _h$ et de petit axe $\sin \theta _h \cos \alpha$ centrée en $(0,-\cos\theta _h \sin \alpha)$ :

$$\left(\frac{\xi'}{\sin \theta _h} \right)^2 + \left(\frac{\eta'+\cos \theta _h\sin\alpha}{\sin \theta _h\cos\alpha} \right)^2 = 1$$ (6.10)

Cas $\alpha > \pi/2-\theta _h$
La relation (6.10) n'est valable que pour des inclinaisons telles que $\alpha < \pi/2-\theta _h$ . Au delà de cette limite, une partie de la terre est située dans le demi-espace arrière de l'instrument. Dans le repère des cosinus directeurs, l'ellipse vient couper le cercle unité aux points d'intersections :

$$\xi'_{lim}=\pm \frac{\sqrt{\sin^2\alpha-\cos^2\theta _h}}{\sin\alpha}\quad,\quad \eta'_{lim}=-\frac{\cos \theta _h}{\sin \alpha}$$ (6.11)

La terre est délimitée par l'ellipse décrite par la relation (6.11) au dessus de ces points et par le cercle unité en dessous.

Figure 6.2: Modification de la forme de la terre dans le repère des cosinus directeurs avec l'inclinaison de l'instrument (H=775 km et $\delta u = 0.875$ ). a) L'horizon terrestre est un cercle pour une inclinaison nulle et b) une ellipse pour une inclinaison faible. c) L'inclinaison $\alpha = 26.7^\circ$ est l'inclinaison critique $\pi/2-\theta _h$ . d) L'inclinaison $\alpha = 33^\circ$ est proche de l'inclinaison prévue pour MIRAS. Dans ce cas, l'horizon terrestre décrit une ellipse dans sa partie supérieure et le cercle unité dans sa partie inférieure.

La figure 6.2 illustre la position de la terre dans le cercle unité pour quatre inclinaisons de l'instrument : $\alpha = 0$ , $\alpha < \pi/2-\theta _h$ , $\alpha = \pi/2-\theta _h$ , $\alpha > \pi/2-\theta _h$ , avec H = 755 km. Dans le dernier cas, l'inclinaison $\alpha = 33^\circ$ est proche de l'inclinaison qu'aura l'instrument MIRAS.

6.1.2 Champ de vue reconstruit et repliement

Les relations entre le champ de vue et l'intervalle d'échantillonnage du domaine de FOURIER exprimées plus haut permettent de trouver la valeur de $\delta u$ remplissant le critère de SHANNON-NYQUIST. La largeur du champ de vue observé étant $\Delta \xi = 2$ (diamètre du cercle unité), l'intervalle d'échantillonnage doit être tel que :

$$\delta u = \frac{2}{\sqrt{3}\Delta xi} = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.577$$ (6.12)

pour un maillage hexagonal, et :

$$\delta u = \frac{1}{\Delta xi} = \frac{1}{2} = 0.5$$ (6.13)

pour un maillage cartésien. Or, que ce soit dans le cas de MIRAS ou du HUT2D, il a été choisi une distance entre les antennes conduisant à un sous-échantillonnage du domaine de FOURIER ( $\delta u = 0.875$ pour MIRAS et $\delta u = 0.7$ pour HUT2D) et donc à un repliement du cercle unité à l'intérieur du champ de vue reconstruit. Ce choix se justifie en remarquant qu'en augmentant la distance entre les antennes, la plus grande distance entre deux antennes du réseau interférométrique augmente elle aussi, améliorant ainsi la résolution spatiale $\delta\xi$ . On remarquera que les repliements (aussi nommés alias) peuvent tout aussi bien être vus comme les chevauchements de répliques situées dans les mailles contiguës.

Pour le HUT2D, on distingue à l'intérieur du champ de vue reconstruit (FOV pour Field Of View, ici un carré de $64\times64$ pixels) le champ de vue exempt de repliement (AFFOV pour Alias Free Field Of View). Etant donnée l'altitude standard de vol pour le HUT2D, ces zones aliasées correspondent uniquement au repliement de la terre dans le FOV (voir Fig. ).

Pour MIRAS, le champ de vue observé est composée de la Terre et du Ciel. Dans un deuxième temps, on distingue donc différentes zones à l'intérieur du champ de vue reconstruit (un hexagone de $128\times128$ pixels) :
- la zone exempte d'aliasing. Elle est elle-même composée de deux zones :
- une zone ne comportant aucun repliement (un hexagone déformé au centre du champ de vue, en rouge sur la figure 6.4-c)
- une zone dans laquelle vient s'étendre une réplique du Ciel (en orange Fig. 6.4-c). Il est possible de retrouver la valeur de la température de brillance $T_{AFFOV}$ dans une zone élargie en retranchant aux visibilités mesurées par l'instrument les visibilités correspondant à la contribution du Ciel, à condition de connaître la distribution des températures de brillances $T_{Ciel}$ dans cette zone. Il suffit de remarquer que la relation entre les visibilités et la température de brillance (3.38) est linéaire.

La carte de température de brillance dans cette zone élargie exempte d'aliasing sera donc reconstruite à partir des visibilités $V_{Terre}$ , corrigées de la contribution du Ciel. Par la suite, les cartes de $T_b$  seront reconstruites dans toute cette zone (appelée abusivement zone exempte d'aliasing ou AFFOV) et les visibilités $V$ désigneront les visibilités corrigées.
- la zone aliasée. Cette zone ne pourra pas être exploitée lors de la reconstruction. On distingue quatre catégories dans cette zone :
- le ciel. Cette zone étant située au-delà de l'horizon terrestre, elle n'est pas exploitée (en bleu nuit dans Fig. -c).
- les repliements dus à :
- une réplique la Terre (cyan, Fig. 6.4)
- une réplique de la Terre et à une réplique du Ciel (azur, Fig. 6.4)
- deux répliques de Terre (bleu foncé, Fig. 6.4)

Figure 6.3: Composition du champ de vue reconstruit du HUT2D pour plusieurs distances entre deux antennes du réseau interférométrique. A l'intérieur de la maille carrée ( $64\times64$ pixels), on retrouve le cercle unité (traits pleins) qui représente le demi-espace qu'observe l'instrument. a) L'espace $d=\delta u\lambda$ entre les antennes conduit à un sur-échantillonnage du domaine de FOURIER ($du<0.5$ ) et le cercle unité est largement compris dans le champ de vue reconstruit. b) L'espace entre les antennes est choisi de façon à parfaitement répondre au critère de SHANNON-NYQUIST, $\delta u = 0.5$ et le cercle unité est tangent au bord de la maille. c) La valeur retenue $\delta u = 0.7$ pour l'instrument réel, conduit à un sous-échantillonnage du domaine de FOURIER et au repliement du cercle unité à l'intérieur du champ de vue reconstruit (traits pointillés). La zone exempte de repliement (AFFOV), contenue à l'intérieur des pointillés, est la seule zone exploitable après la reconstruction.

Figure 6.4: Composition du champ de vue reconstruit de MIRAS pour plusieurs distances entre deux antennes du réseau interférométrique. A l'intérieur de la maille hexagonale ( $128\times128$ pixels), on retrouve le cercle unité (traits pleins en noir) dans lequel on distingue l'ellipse représentant la Terre (traits plein en gris), et le Ciel (entre l'ellipse et le cercle unité). a) L'espace $d=\delta u\lambda$ entre les antennes conduit à un sur-échantillonnage du domaine de FOURIER ( $\delta u<1/\sqrt{3}$ ) et le cercle unité est largement compris dans le champ de vue reconstruit. b) L'espace entre les antennes est choisi de façon à parfaitement répondre au critère de SHANNON-NYQUIST, $\delta u = 1/\sqrt{3}$ et le cercle unité est tangent au bord de la maille. c) La valeur retenue $\delta u = 0.875$ pour l'instrument réel, conduit à un sous-échantillonnage du domaine de FOURIER et au repliement du cercle unité à l'intérieur du champ de vue reconstruit (traits pointillés). Une zone élargie, abusivement dite exempte de repliement, représentée par les zones remplies des deux gris les plus clairs, est la seule zone exploitable après la reconstruction.

6.1.3 Champ de vue reconstruit et passage au repère terrestre

Le passage du repère des antennes dont les coordonnées sont les cosinus directeurs au repère terrestre dont les coordonnées sont les couples (latitude,longitude) est décrit ci-dessous.

La première étape consiste à passer, le cas échéant, des coordonnées $(\xi',\eta')$ correspondant à un instrument incliné, aux coordonnées $(\xi,\eta)$ ainsi que décrit dans la section précédente par la relation 6.9.

Dans un deuxième temps, il s'agit de passer du repère des antennes au repère terrestre (OXYZ), en considérant l'altitude $H$ de l'instrument et $R_T$ le rayon terrestre :

$$\sin \theta = \sqrt{\xi^2+\eta^2}$$ (6.14)

$$\Rightarrow \cos \theta = \sqrt{1-\cos^2 \theta }$$ (6.15)

$$\Rightarrow \rho = (R_T+H)\cos \theta -\sqrt{(R_T+H)^2\cos^2 \theta -H(2R_T+H)}$$ (6.16)

$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \rho \xi\\ y = \rho \eta\\ z = \rho \cos \theta \end{array}\right.$$ (6.17)

Dans un troisième temps, si $Lon_{sat}$ et $Lat_{sat}$ sont respectivement la longitude et latitude du point sub-satellite (en radian), le passage au repère terrestre se fait alors à l'aide de deux matrices de rotation $R_x$ et $R_z$ , respectivement d'un angle $a=-Lat_{sat}-\pi/2$ autour de l'axe $X$ et d'un angle $b=-Lon_{sat}+\pi/2$ autour de l'axe $Z$ :

$$R_X = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & \cos a & \sin a \\ 0 & -\sin a & \cos a \end{array}\right)$$ (6.18)

$$R_Z = \left( \begin{array}{ccc} \cos b & 0 & \sin b \\ 0 & 1 & 0\\ -\sin b & 0 & \cos b \end{array}\right)$$ (6.19)

Les coordonnées cartésiennes $(x_G,y_G,z_G)$ dans le repère de Greenwich sont alors :

$$[x_G~y_G~z_G] = R_Z R_X \left[ \begin{array}{c} x\\ y\\ z-(R_T+H) \end{array} \right]$$ (6.20)

Finalement, la longitude $Lon$  et la latitude $Lat$  du point courant sont :

$$\left\{ \begin{array}{l} Lon = \arctan \left(\frac{\displaystyle ... ...splaystyle z_G}{\sqrt{\displaystyle x_G^2+y_G^2}} \right)\\ \end{array} \right.$$ (6.21)

Les figures 6.5, 6.6 et 6.7 illustrent les caractéristiques du passage du repère des antennes au repère terrestre pour l'instrument MIRAS (H=755 km, $\alpha = 33^\circ$ ).

La figure 6.5 montrent comment la résolution spatiale varie dans le champ de vue reconstruit projeté dans le repère terrestre. Alors que la résolution spatiale est isotrope dans tout le plan des cosinus directeurs (symbolisé par des cercles de rayons $3\delta \xi$ dans la figure 6.5-a), elle varie selon les directions et la position du pixel considéré dans le champ de vue reconstruit dans le repère terrestre. La résolution spatiale en ce pixel est déterminée par le grand axe d'une ellipse (résolution radiale) et, dans une direction orthogonale, par son petit axe (résolution transverse).

Cette déformation se comprend simplement en faisant l'hypothèse d'une terre plate et en se rappelant que la résolution spatiale d'un RISO est celle d'une antenne dont le diamètre est égale à la plus grand distance entre deux antennes. Dans le cas d'un instrument non incliné, l'intersection du gain de cette antenne synthétisée avec une surface plane est un cercle centré sur le point sub-satellite (la résolution spatiale est isotrope) et va naturellement s'allonger en une ellipse au fur et à mesure que l'on s'éloigne du centre du champ de vue.

A ce phénomène s'additionne l'effet de la rotondité de la Terre qui va conduire à une modification de l'orientation de l'ellipse au fur et à mesure que l'on s'éloigne de l'axe $Y$ , le long du déplacement du satellite, ainsi que l'on peut le remarquer sur la figure 6.5-d. Ainsi, la résolution n'est isotrope que pour deux pixels situés de part et d'autre de l'axe $Y$ , proches du centre des deux cercles marqués de rouge sur cette même figure.

D'autre part, comme le montre la figure (6.5), une grille régulière dans le repère terrestre ne l'est pas dans le repère des cosinus directeurs. Le paragraphe suivant est consacré aux rééchantillonnages nécessaires à l'obtention d'une grille régulière dans le repère terrestre.

Les figures 6.8-a et 6.8-b permettent d'établir respectivement, d'une part la variation de la distance mesurée par rapport au point sub-satellite et les dimensions du champ de vue reconstruit et d'autre part la variation de l'angle d'incidence sous lequel est effectuée la mesure, rappelant dans le même temps la capacité multi-angulaire des radiomètres imageurs à synthèse d'ouverture.

Figure 6.5: Déformation de la fonction de transfert instrumentale lors du passage du repère des antennes au repère terrestre : a), la résolution spatiale est isotrope pour tout les pixels du plan des cosinus directeurs alors que b), dans le repère terrestre, elle varie selon les directions et la position du pixel dans le champ de vue reconstruit. On observe aussi la déformation de la grille régulière dans le domaine des antennes à travers la courbure des lignes joignant le centre des ellipses.

Figure 6.6: Déformation d'une grille régulière dans le repère terrestre lors du passage dans le repère des antennes. Le traitement des paramètres géophysiques demande à travailler sur une grille régulière dans le repère terrestre. Il est donc nécessaire d'interpoler la carte de température de brillance dans le domaine des cosinus directeurs, puisque ces points ne correspondent pas aux noeuds de la grille d'échantillonnage.

Figure 6.7: Renversement de l'image lors du passage a) du repère des antennes b) au repère terrestre : le changement de repère conduit à un renversement de l'image par rapport à l'axe $(\xi=0)$

Figure 6.8: a) Distances ([km]) mesurées par rapport au point sub-satellite et b) variation de l'angle d'incidence ([$^\circ$ ]) de la mesure (champ de vue reconstruit, repère terrestre).