9.2 Auto-caractérisation des paramètres de modélisation de $\mathbf{G}$

Les méthodes de reconstruction régularisées sont toutes basées sur l'utilisation de l'opérateur de modélisation $\mathbf{G}$ . Il est donc important de connaître les paramètres modélisant l'instrument avec une précision suffisante pour que les erreurs de reconstruction dues aux erreurs de modélisation soient sous contrôle. L'approche présentée ici propose de caractériser en vol les paramètres de modélisation à partir des visibilités mesurées pour une scène suffisamment connue. Elle reprend pour un instrument réaliste de type MIRAS les travaux préliminaires menés pour un instrument à dix antennes EricSelf.

Compte tenu de la paramétrisation choisie pour les diagrammes d'antennes et les filtres des récepteurs, on nomme $\mathcal{L}$ (param) l'ensemble des paramètres à caractériser, soit :

Chacun de ces paramètres est en fait un ensemble de valeurs pour chacune des $N_a$ antennes ou récepteurs, soit au total paramètres à caractériser, pour les antennes et pour les récepteurs.

Le critère de moindres carrés suivant,

est par conséquent un problème sur-contraint. En effet, pour un instrument de type MIRAS comptant 69 antennes, 690 paramètres doivent être caractériser à partir de 4693 données instrumentales réelles. Le nombre de données étant très supérieur au nombre d'inconnues, il est bien entendu possible, pour une modélisation plus fine de la chaîne de mesure, de caractériser jusqu'à 4693 paramètres, même si dans la pratique, plus le nombre d'inconnues est faible, meilleure sera la convergence.

Afin d'illustrer la faisabilité de cette approche, il a été choisi d'estimer les paramètres de modélisation des diagrammes d'antennes. Les visibilités sont simulées pour une scène uniforme à 300 K, et dégradées par un bruit radiométrique gaussien de déviation standard K, proche du bruit radiométrique attendu pour l'instrument MIRAS (voir chapitre 11, section 1). La méthode de minimisation est une méthode itérative de type quasi-newton, à métrique variable, basée sur l'algorithme de BROYDEN-FLETCHER-GOLDFARB-SHANNO. Si est le vecteur de paramètres à optimiser, $f$ , le critère à minimiser, cette méthode propose l'itération suivante :

où est une estimation de et l'originalité réside dans le choix de :

avec,

$$=$$ (9.13)

$$=$$ (9.14)

L'initialisation est réalisée avec les paramètres d'un instrument idéal, soit et .

Le tableau 9.14 indique la déviation standard moyenne de l'écart entre les paramètres estimés et les valeurs réelles. Le tableau 9.15 indique la déviation standard moyenne de l'écart entre l'amplitude et la phase des diagrammes estimés et des diagrammes réels, antenne par antenne. Les paramètres réels sont ceux choisis pour l'instrument MIRAS réaliste.

Les paramètres estimés sont proches des paramètres réels, autour de pour la largeur à mi-hauteur et entre 1 mm et 5 mm pour l'erreur de pointage, ce qui conduit à une erreur moyenne, pour l'ensemble des diagrammes, de 0.016 sur l'amplitude et 1.5$^\circ$ sur la phase. La figure 9.1 montre l'erreur commise sur l'amplitude et la phase pour la première antenne.

Cependant, il reste à vérifier que l'erreur sur cette estimation n'a pas de conséquences trop importantes sur la reconstruction. Or, de ce point de vue, la précision annoncée ici est insuffisante et l'erreur de modélisation induite par cette approche conduit à une erreur de reconstruction trop importante (voir chapitre 11 sur la propagation des erreurs de modélisation). Toutefois, les algorithmes utilisés pour cette étude n'ayant pas été optimisés, les temps de calculs se sont avérés très grand : les résultats présentés ici ont été obtenus après 3 semaines complètes d'itérations sur un PC (fréquence à 3 GHz et 4 Go de mémoire) alors que le résidu de la fonction à minimiser était encore de l'ordre de .

En conclusion, le nombre de données instrumentales permet en principe de caractériser un grand nombre de paramètres avec une précision telle que les erreurs de modélisation n'augmente pas de façon critique l'erreur de reconstruction. Cependant, elle reste chronophage et conditionnée par une connaissance a priori de la scène observée.

Table 9.14: Déviation standard moyenne de l'écart entre les paramètres estimés et les paramètres réels pour l'ensemble des paramètres de modélisation des antennes.

1.16$^\circ$	0.80$^\circ$	1.045 mm	4.921 mm	1.130 mm	5.015 mm

Table 9.15: Déviation standard moyenne de l'écart entre l'amplitude ( ) et la phase ( ) des diagrammes estimés et des diagrammes réels. L'erreur moyenne pour l'ensemble des diagrammes est indiquée par  et  .

Antennes/ / [$^\circ$ ]			Antennes/ / [$^\circ$ ]			Antennes/ / [$^\circ$ ]			Antennes/ / [$^\circ$ ]
01	0.008	1.054	02	0.013	1.057	03	0.022	1.899	04	0.037	0.913
05	0.024	1.083	06	0.027	0.679	07	0.078	2.281	08	0.084	1.568
09	0.099	1.632	10	0.044	1.295	11	0.086	1.525	12	0.071	0.785
13	0.147	1.546	14	0.039	2.263	15	0.069	1.229	16	0.061	2.301
17	0.037	1.283	18	0.124	2.416	19	0.077	1.856	20	0.071	1.754
21	0.049	1.348	22	0.058	1.775	23	0.054	0.996	24	0.073	0.910
25	0.026	1.343	26	0.012	2.474	27	0.026	2.122	28	0.023	1.670
29	0.028	0.934	30	0.083	1.895	31	0.168	1.354	32	0.044	1.304
33	0.082	2.200	34	0.071	1.193	35	0.070	1.249	36	0.218	1.335
37	0.146	1.294	38	0.142	0.614	39	0.133	1.893	40	0.128	0.660
41	0.150	2.211	42	0.111	1.700	43	0.229	2.410	44	0.157	0.729
45	0.074	1.784	46	0.058	0.335	47	0.022	0.846	48	0.014	1.217
49	0.020	1.673	50	0.037	0.995	51	0.036	1.189	52	0.040	1.436
53	0.106	0.884	54	0.047	0.954	55	0.065	1.695	56	0.149	1.717
57	0.044	1.353	58	0.105	1.614	59	0.082	1.659	60	0.042	1.322
61	0.121	1.881	62	0.120	0.893	63	0.019	1.415	64	0.024	2.085
65	0.046	0.888	66	0.092	1.061	67	0.045	0.893	68	0.039	1.420
69	0.084	1.236
			/ = 0.016/1.427

Figure 9.1: Erreur sur l'estimation de a) l'amplitude et de b) la phase de l'antenne #2.

[bibli]