9.1 Simulations des instruments de type HUT2D et MIRAS.

Rappelons la relation fondamentale liant la carte de température de brillance observée au degré de cohérence spatiale $V_{kl}$ mesuré pour un couple d'antennes :

Cette relation sera utilisée pour la simulation des visibilités et pour la modélisation de l'instrument dans le cadre de la reconstruction, suivant ainsi ce qui se fait dans la plupart des publications sur la reconstruction d'image pour les radiomètres à synthèse d'ouverture. Il sera bien entendu possible de considérer des paramètres différents pour ces deux étapes, de façon à étudier l'impact des erreurs instrumentales sur l'erreur de reconstruction.

Par ailleurs, une démarche différente a été adoptée dans un simulateur de la totalité de la chaîne d'acquisition et de traitement des données pour le projet SMOS. Le SEPS, pour SMOS End-to-end Performance Simulator, reconstitue l'ensemble des étapes, depuis l'émission de températures de brillance par la surface de la Terre jusqu'à l'estimation des produits géophysiques que sont l'humidité et la salinité SEPSproc. Ce simulateur, développé par la société espagnole GMV en collaboration avec l'équipe de traitement du signal de l'Université Polytechnique de Catalogne (UPC), est basé, pour la reconstruction d'image, sur une méthode CLEAN, développée par cette même équipe. La simulation des visibilités est basée sur une modélisation différente de l'instrument (modélisation différentes des gains d'antennes, des filtres des récepteurs, simulation des produits de corrélations, des étapes de calibration par injection de bruit) et sur une version remaniée du théorème de VAN CITTERT-ZERNIKE :

Quelques interrogations subsistent sur l'opportunité de cette nouvelle formulation et sur certaines étapes de la simulation des visibilités dans ce simulateur. C'est pourquoi il a été choisi de s'en tenir à la relation (9.1). Les méthodes de reconstruction présentées ici sont basées sur la matrice de modélisation $\mathbf{G}$ issues de cette relation. Quand bien même un niveau de modélisation instrumental plus élevé permettrait d'affiner l'estimation des erreurs de reconstruction, il ne changerait pas de façon significative les caractéristiques générales de ces méthodes : facteur d'amplification du bruit sur les mesures, impact des erreurs d'étalonnage ou de calibration des diagrammes de rayonnement, de la fonction de décorrélation spatiale.

Les paragraphes suivants présentent les paramétrisations choisies pour les gains des antennes et des filtres des récepteurs.

9.1.1 Modélisation d'un instrument réaliste

a. Modélisation des antennes

Les diagrammes de rayonnement de chacune des antennes de l'interféromètre sont caractérisés par leur amplitude et leur phase dans la direction d'observation $(\theta,\phi)$ :

Ainsi, chaque diagramme de rayonnement des antennes dépend de six paramètres qui diffèrent d'une antenne à l'autre. Des gains d'antennes réalistes ont été simulés à partir de valeurs tirées aléatoirement compte tenues des spécifications imposées par l'ESA pour leur élaboration. Les tableaux 9.1 et 9.2 rappellent les paramètres retenus pour les simulations de MIRAS et HUT2D respectivement, les tableaux 9.3, 9.4, 9.5 et 9.6 résumant les statistiques sur ces paramètres et sur la phase à -3 dB. Les valeurs nominales fournies par l'ESA apparaissant dans le tableau 9.7.

Table 9.1 Paramètres des gains d'antennes pour un instrument simulé de type MIRAS.

	(deg)	(deg)	(mm)	(mm)	(mm)	(mm)
1	`64.99`	`68.64`	`+0.39`	`+3.70`	`+1.90`	`-4.39`
2	`67.62`	`66.02`	`+0.81`	`+3.62`	`-0.17`	`+0.65`
3	`62.03`	`67.56`	`+0.24`	`+5.43`	`+1.98`	`-8.21`
4	`67.46`	`66.08`	`-0.76`	`-0.74`	`-1.47`	`+5.22`
5	`65.69`	`63.96`	`-1.67`	`-2.48`	`-1.20`	`+2.91`
6	`68.11`	`66.93`	`+0.62`	`-2.10`	`-1.60`	`-0.76`
7	`65.91`	`63.98`	`-1.78`	`+7.39`	`+0.91`	`-9.67`
8	`64.26`	`68.16`	`-1.40`	`-1.71`	`-1.72`	`+7.68`
9	`65.93`	`64.43`	`+0.02`	`+6.40`	`-0.81`	`+4.17`
10	`66.01`	`66.32`	`+0.77`	`+5.07`	`+1.81`	`-2.25`
11	`68.52`	`69.82`	`+0.04`	`+4.11`	`+0.50`	`-5.45`
12	`62.39`	`62.90`	`+0.83`	`-2.10`	`+0.57`	`-3.91`
13	`68.69`	`65.66`	`-1.16`	`+4.71`	`+0.31`	`+5.79`
14	`62.54`	`62.97`	`+0.26`	`+7.32`	`-1.12`	`-3.98`
15	`69.05`	`67.75`	`-1.07`	`-1.16`	`-0.66`	`-4.67`
16	`68.68`	`65.24`	`-0.12`	`+7.63`	`+0.58`	`-7.08`
17	`69.32`	`62.77`	`+1.59`	`-5.86`	`+1.50`	`-5.25`
18	`64.83`	`65.84`	`-0.60`	`+8.29`	`-1.94`	`+9.75`
19	`69.12`	`62.11`	`+0.55`	`-6.60`	`-0.91`	`+6.25`
20	`65.97`	`69.65`	`-1.43`	`+8.58`	`-1.94`	`+4.55`
21	`69.89`	`68.77`	`+0.33`	`+1.13`	`+0.76`	`+5.22`
22	`65.20`	`62.96`	`+0.58`	`-8.15`	`+1.09`	`-1.92`
23	`68.53`	`69.97`	`-1.43`	`+5.69`	`-0.92`	`+1.14`
24	`68.48`	`65.77`	`+0.23`	`-3.95`	`+0.52`	`+0.49`
25	`66.01`	`66.40`	`+0.05`	`-4.52`	`+0.35`	`-4.63`
26	`66.76`	`63.01`	`+0.91`	`-9.93`	`+1.64`	`+3.24`
27	`68.22`	`66.00`	`-1.66`	`+7.71`	`-1.62`	`+9.02`
28	`69.45`	`68.49`	`+0.31`	`+5.41`	`+0.51`	`+4.66`
29	`68.24`	`68.64`	`+0.04`	`+1.98`	`-0.65`	`+4.47`
30	`69.31`	`67.30`	`+0.39`	`-1.60`	`+1.07`	`-9.49`
31	`66.43`	`65.02`	`+0.47`	`+5.21`	`+0.48`	`+1.58`
32	`64.33`	`62.34`	`+0.35`	`+0.38`	`-1.44`	`-3.68`
33	`66.11`	`62.04`	`-1.10`	`-5.13`	`+1.60`	`+4.18`
34	`68.35`	`65.19`	`-0.98`	`-4.25`	`-1.10`	`+1.82`
35	`62.99`	`62.57`	`+0.46`	`-3.22`	`+0.74`	`-5.65`
36	`67.68`	`63.17`	`-0.31`	`+6.27`	`+0.78`	`-1.17`
37	`69.88`	`69.90`	`-1.46`	`-3.96`	`-0.16`	`+0.07`
38	`64.68`	`69.37`	`-0.41`	`-1.59`	`+1.57`	`-3.09`
39	`68.40`	`64.44`	`-0.76`	`+4.50`	`-0.47`	`+7.98`
40	`62.54`	`64.16`	`+1.29`	`+0.87`	`-0.54`	`+0.02`
41	`69.16`	`65.50`	`+0.76`	`+4.40`	`+1.76`	`-9.84`
42	`65.85`	`63.12`	`-0.29`	`-6.74`	`+0.77`	`+0.38`
43	`64.72`	`62.41`	`+0.18`	`+6.30`	`-0.06`	`-7.68`
44	`62.10`	`62.45`	`-1.80`	`-0.96`	`-1.34`	`-0.59`
45	`62.39`	`64.75`	`+0.24`	`-5.07`	`+0.63`	`-7.35`
46	`69.11`	`62.05`	`+0.25`	`-0.20`	`-1.38`	`+3.02`
47	`66.13`	`66.13`	`+1.95`	`-5.51`	`+0.00`	`-1.40`
48	`62.11`	`63.86`	`+1.45`	`-1.33`	`-1.76`	`+7.72`
49	`67.82`	`62.99`	`+0.07`	`-7.13`	`+1.11`	`-1.05`
50	`66.67`	`65.16`	`+0.64`	`-4.56`	`-1.04`	`-1.48`
51	`64.57`	`64.29`	`-0.81`	`-1.94`	`-1.39`	`+5.80`
52	`65.95`	`66.92`	`-1.72`	`+3.62`	`+1.42`	`-8.06`
53	`67.00`	`64.76`	`-1.46`	`-1.38`	`+1.44`	`-0.66`
54	`65.12`	`69.90`	`+1.90`	`-0.81`	`+0.97`	`+3.38`
55	`63.91`	`68.10`	`-0.94`	`-5.87`	`+1.73`	`-2.13`
56	`67.85`	`67.35`	`+0.98`	`-4.17`	`+1.03`	`-7.93`
57	`68.16`	`69.23`	`+1.99`	`+1.72`	`-0.56`	`-2.52`
58	`66.91`	`66.94`	`-0.31`	`+7.85`	`+1.97`	`-1.98`
59	`65.34`	`63.69`	`-1.78`	`-2.49`	`+0.63`	`+4.04`
60	`67.57`	`62.27`	`+1.75`	`+3.31`	`+0.39`	`-1.91`
61	`63.59`	`69.83`	`-1.30`	`+8.44`	`-0.96`	`-2.50`
62	`62.85`	`66.41`	`-0.41`	`+3.42`	`-0.06`	`-2.35`
63	`64.48`	`65.54`	`+0.07`	`+0.86`	`-0.48`	`+6.98`
64	`64.20`	`66.20`	`+0.22`	`-8.28`	`+0.22`	`+3.59`
65	`62.09`	`63.14`	`+1.54`	`-2.63`	`+0.86`	`-4.29`
66	`68.51`	`63.12`	`+1.58`	`-4.89`	`+0.08`	`-3.26`
67	`66.98`	`66.83`	`+0.02`	`+1.25`	`+0.80`	`-4.29`
68	`64.94`	`62.68`	`+1.47`	`-4.11`	`+0.21`	`+5.64`
69	`63.62`	`64.05`	`+1.03`	`-2.45`	`+1.34`	`+3.73`

**Table 9.2:** Paramètres des diagrammes de rayonnement des antennes pour un instrument simulé de type HUT2D.
	(deg)	(deg)	(mm)	(mm)	(mm)	(mm)
1	`69.86`	`63.83`	`+1.42`	`-0.55`	`+1.15`	`+3.12`
2	`62.34`	`66.39`	`+1.09`	`-4.05`	`-1.29`	`+3.82`
3	`62.11`	`67.21`	`+1.82`	`-6.08`	`+1.10`	`+2.27`
4	`67.61`	`67.77`	`-0.51`	`-0.32`	`+1.88`	`-3.16`
5	`64.01`	`69.04`	`+1.06`	`+1.65`	`+0.74`	`+9.34`
6	`69.39`	`64.48`	`+1.87`	`-6.89`	`-1.35`	`-3.73`
7	`69.42`	`63.31`	`-0.95`	`+4.28`	`+1.91`	`+2.74`
8	`69.38`	`63.15`	`+1.00`	`-2.41`	`+0.90`	`-6.74`
9	`64.40`	`63.05`	`-0.05`	`-0.08`	`+1.37`	`+6.12`
10	`65.52`	`64.45`	`+1.20`	`-7.32`	`-1.74`	`-2.50`
11	`66.76`	`63.73`	`-1.62`	`-1.00`	`+1.48`	`-2.17`
12	`68.51`	`69.44`	`-1.93`	`+7.56`	`-0.59`	`+4.44`
13	`68.45`	`69.55`	`-0.55`	`+4.62`	`+0.60`	`+3.63`
14	`64.07`	`67.70`	`+0.06`	`+2.73`	`-0.40`	`-0.27`
15	`62.90`	`63.00`	`+0.34`	`+1.17`	`-1.20`	`-8.25`
16	`67.54`	`64.49`	`+0.03`	`-0.96`	`-0.70`	`-2.40`
17	`64.75`	`63.69`	`+0.70`	`+0.30`	`-1.11`	`+4.50`
18	`69.58`	`68.53`	`-1.78`	`+2.00`	`-0.43`	`-5.69`
19	`67.95`	`67.64`	`+1.25`	`-0.68`	`+0.89`	`+9.90`
20	`69.55`	`64.15`	`-0.32`	`-2.46`	`+1.63`	`+3.40`
21	`68.85`	`62.55`	`-0.93`	`+5.69`	`-0.45`	`-9.38`
22	`69.20`	`67.34`	`-0.99`	`-1.34`	`+1.37`	`-6.31`
23	`66.92`	`67.21`	`-0.99`	`-2.91`	`+0.97`	`+3.02`
24	`68.14`	`69.57`	`+1.80`	`-5.44`	`+1.83`	`+3.60`
25	`66.60`	`64.64`	`+1.81`	`-0.85`	`+0.15`	`-8.67`
26	`64.67`	`66.94`	`+1.54`	`+0.29`	`+1.85`	`-7.59`
27	`62.78`	`69.29`	`+1.19`	`-1.30`	`+1.92`	`-8.08`
28	`67.10`	`66.65`	`+1.92`	`+1.10`	`+1.95`	`+3.83`
29	`64.33`	`63.33`	`+0.42`	`+0.93`	`-1.62`	`+2.74`
30	`68.71`	`63.77`	`-0.41`	`+4.63`	`+0.74`	`+9.57`
31	`62.05`	`69.53`	`-1.47`	`+4.49`	`+1.60`	`-6.59`
32	`65.18`	`63.09`	`+0.11`	`+0.91`	`-0.86`	`-2.58`
33	`66.88`	`69.64`	`-0.99`	`+1.70`	`+0.09`	`-6.73`
34	`62.03`	`62.42`	`-1.77`	`+0.84`	`-0.18`	`+7.26`
35	`63.59`	`64.15`	`+2.00`	`-7.80`	`+0.49`	`-7.35`
36	`67.39`	`66.29`	`+1.67`	`-7.53`	`-1.95`	`-2.61`

**Table 9.4:** Statistiques sur la phase à -3dB des gains d'antennes de MIRAS.
Max	Min
`+1.74`	`-1.65`	`+0.02`	`0.96`

**Table 9.6:** Statistiques sur la phase à -3dB des gains d'antennes du HUT2D.
Max	Min
`+1.81`	`-1.71`	`+0.05`	`1.00`

b. Les filtres passe-bande des récepteurs

Comme il a été montré précédemment (relation (3.33), partie I, chapt. 3, section 3.3, page 56), la fonction de décorrélation spatiale dépend de la réponse en fréquence normalisée des récepteurs :

Ainsi, chaque filtre dépend de quatre paramètres qui diffèrent d'un récepteur à l'autre. Des filtres réalistes ont été simulés à partir de valeurs tirées aléatoirement compte tenues des spécifications imposées par l'ESA pour leur élaboration. Les tableaux 9.8 et 9.9 rappellent les paramètres retenus pour MIRAS et HUT2D respectivement, les tableaux 9.10 et 9.11 résumant les statistiques sur ces paramètres. Les valeurs nominales fournies par l'ESA apparaissant en gras dans le tableau 9.12.

Table 9.8 Paramètres des filtres des récepteurs de MIRAS.

	[GHz]	[MHz]	$\tau$ [ s]	[deg]
1	`1.41362`	`20.48`	`-1.13`	`203.92`
2	`1.41331`	`20.84`	`+2.95`	`38.90`
3	`1.41354`	`18.31`	`+3.61`	`232.07`
4	`1.41330`	`21.78`	`-0.55`	`320.22`
5	`1.41375`	`19.61`	`-1.34`	`157.65`
6	`1.41385`	`21.01`	`-1.65`	`79.16`
7	`1.41339`	`19.54`	`-0.53`	`161.44`
8	`1.41355`	`21.52`	`+4.81`	`10.14`
9	`1.41321`	`18.09`	`+4.76`	`61.30`
10	`1.41375`	`18.63`	`+2.18`	`10.12`
11	`1.41334`	`20.38`	`+3.20`	`256.21`
12	`1.41373`	`19.51`	`+0.92`	`240.72`
13	`1.41324`	`21.92`	`-3.00`	`197.54`
14	`1.41327`	`18.30`	`-1.65`	`286.63`
15	`1.41323`	`18.60`	`+3.56`	`54.55`
16	`1.41330`	`20.29`	`+3.14`	`47.33`
17	`1.41364`	`21.31`	`+4.50`	`139.80`
18	`1.41363`	`21.61`	`-3.26`	`153.01`
19	`1.41384`	`18.11`	`+2.28`	`326.28`
20	`1.41345`	`20.31`	`+2.09`	`10.43`
21	`1.41354`	`18.23`	`-4.53`	`310.15`
22	`1.41336`	`19.42`	`-1.82`	`29.59`
23	`1.41346`	`21.82`	`+0.74`	`197.09`
24	`1.41332`	`19.60`	`-2.29`	`158.52`
25	`1.41365`	`19.10`	`+3.79`	`94.49`
26	`1.41329`	`20.27`	`-1.62`	`129.75`
27	`1.41355`	`18.47`	`-3.33`	`289.46`
28	`1.41331`	`21.12`	`+3.87`	`27.87`
29	`1.41333`	`18.21`	`-0.53`	`311.56`
30	`1.41362`	`21.75`	`-3.40`	`132.01`
31	`1.41323`	`18.05`	`-3.82`	`19.80`
32	`1.41381`	`20.66`	`+4.24`	`292.55`
33	`1.41343`	`20.97`	`+2.86`	`119.59`
34	`1.41373`	`19.65`	`+2.59`	`156.40`
35	`1.41325`	`21.37`	`+4.49`	`158.44`
36	`1.41365`	`18.02`	`+1.62`	`343.48`
37	`1.41339`	`19.53`	`-3.02`	`126.54`
38	`1.41371`	`20.82`	`-1.91`	`185.29`
39	`1.41329`	`18.11`	`-1.36`	`107.22`
40	`1.41354`	`19.36`	`-2.95`	`332.68`
41	`1.41345`	`21.13`	`-0.64`	`352.41`
42	`1.41379`	`18.47`	`+3.41`	`103.11`
43	`1.41315`	`21.45`	`-0.55`	`114.95`
44	`1.41346`	`19.69`	`-1.60`	`104.76`
45	`1.41355`	`21.14`	`-3.51`	`350.04`
46	`1.41335`	`18.12`	`-0.89`	`293.36`
47	`1.41356`	`20.80`	`-3.53`	`11.38`
48	`1.41346`	`20.63`	`-2.76`	`58.32`
49	`1.41362`	`19.05`	`-4.30`	`65.16`
50	`1.41346`	`21.90`	`+0.65`	`284.79`
51	`1.41346`	`18.23`	`+3.39`	`123.45`
52	`1.41342`	`19.60`	`+2.81`	`17.47`
53	`1.41379`	`20.64`	`-2.36`	`213.50`
54	`1.41336`	`18.31`	`-1.38`	`41.71`
55	`1.41364`	`18.46`	`-2.49`	`330.92`
56	`1.41328`	`21.92`	`+2.94`	`31.00`
57	`1.41362`	`20.30`	`+2.64`	`280.30`
58	`1.41344`	`18.23`	`+0.54`	`101.45`
59	`1.41367`	`18.92`	`+1.24`	`343.74`
60	`1.41380`	`19.85`	`-0.57`	`210.47`
61	`1.41345`	`19.71`	`-3.17`	`209.26`
62	`1.41317`	`20.98`	`-2.13`	`347.48`
63	`1.41373`	`19.79`	`+1.19`	`288.74`
64	`1.41382`	`18.81`	`-4.35`	`246.01`
65	`1.41341`	`20.85`	`+0.51`	`66.85`
66	`1.41383`	`19.47`	`+4.81`	`225.89`
67	`1.41325`	`19.77`	`+3.09`	`268.37`
68	`1.41344`	`20.69`	`+3.37`	`194.12`
69	`1.41381`	`21.73`	`-2.65`	`57.71`

**Table 9.9:** Paramètres des filtres des récepteurs du HUT2D.
1	`1.41345`	`6.13`	`+0.24`	`353.06`
2	`1.41355`	`9.54`	`-4.37`	`326.47`
3	`1.41345`	`9.64`	`+0.26`	`148.50`
4	`1.41330`	`9.46`	`-1.47`	`322.52`
5	`1.41385`	`9.03`	`+1.94`	`119.27`
6	`1.41321`	`7.59`	`+1.88`	`174.39`
7	`1.41346`	`7.81`	`-4.52`	`309.69`
8	`1.41345`	`9.07`	`+1.35`	`107.50`
9	`1.41369`	`6.97`	`-4.46`	`299.28`
10	`1.41380`	`8.68`	`-1.42`	`343.14`
11	`1.41354`	`9.02`	`+0.25`	`257.37`
12	`1.41318`	`9.21`	`+4.09`	`13.09`
13	`1.41346`	`7.17`	`-2.01`	`103.67`
14	`1.41340`	`9.40`	`+1.80`	`169.11`
15	`1.41339`	`6.17`	`+4.64`	`287.67`
16	`1.41373`	`7.42`	`+4.64`	`216.49`
17	`1.41376`	`6.76`	`+3.58`	`338.59`
18	`1.41381`	`7.82`	`+4.73`	`254.20`
19	`1.41380`	`8.50`	`+2.75`	`308.73`
20	`1.41357`	`9.24`	`-3.43`	`337.97`
21	`1.41365`	`6.77`	`-4.68`	`339.44`
22	`1.41324`	`8.32`	`-4.55`	`92.97`
23	`1.41323`	`6.21`	`+0.43`	`249.77`
24	`1.41328`	`6.86`	`+0.65`	`187.84`
25	`1.41360`	`9.21`	`+2.38`	`112.24`
26	`1.41359`	`7.34`	`-1.62`	`95.99`
27	`1.41316`	`8.63`	`+3.97`	`179.08`
28	`1.41358`	`9.82`	`-0.89`	`337.56`
29	`1.41369`	`7.04`	`+4.98`	`167.07`
30	`1.41328`	`8.78`	`+1.83`	`123.51`
31	`1.41329`	`7.07`	`+1.30`	`237.50`
32	`1.41366`	`9.93`	`-3.58`	`302.02`
33	`1.41370`	`6.24`	`+2.15`	`36.96`
34	`1.41332`	`8.46`	`-4.07`	`33.60`
35	`1.41357`	`6.46`	`-2.22`	`47.88`
36	`1.41327`	`6.84`	`-3.38`	`107.20`

**Table 9.10:** Statistiques sur les paramètres des filtres des récepteurs de MIRAS.
	[GHz]	[MHz]	$\tau$ [ s]	[deg]
Max	`1.41385`	`21.92`	`+4.81`	`352.41`
Min	`1.41315`	`18.02`	`-4.53`	`10.12`
	`1.41350`	`19.90`	`+0.18`	`171.69`
	`0.00020`	`1.25`	`+2.83`	`109.17`

**Table 9.11:** Statistiques sur les paramètres des filtres des récepteurs du HUT2D.
	[GHz]	[MHz]	$\tau$ [ s]	[deg]
Max	`1.41385`	`9.93`	`+4.98`	`353.06`
Min	`1.41316`	`6.13`	`-4.68`	`13.09`
	`1.41350`	`8.02`	`+0.09`	`206.70`
	`0.00020`	`1.21`	`+3.13`	`106.79`

**Table 9.12:** Spécifications ESA sur les filtres des récepteurs de MIRAS et du HUT2D.
	Valeurs nominales	Dispersion attendue
	GHz	GHz
	MHz (MIRAS) / MHz (HUT2D)	MHz
$\tau$	s	s

**Table 9.13:** Valeur maximale du retard géométrique et valeur minimale de la fonction de décorrélation spatiale pour les deux types d'instruments.
	[ s]
MIRAS	14.86	0.698
HUT2D	8.14	0.779

9.1.2 Modélisation d'un instrument idéal

Il est nécessaire d'avoir une référence pour pouvoir déterminer une erreur sur l'estimation des cartes de température reconstruites par les différentes méthodes. Cette référence a été choisie comme étant la carte des températures de brillance reconstruite à partir des visibilités simulées pour un instrument idéal défini comme suit et reconstruite à l'aide d'une simple $\mathcal{TF}$ inverse. L'instrument idéal Cet instrument est tel que :