11.2 Propagation des erreurs de modélisation

Cette section présente des résultats sur l'impact d'une erreur de modélisation sur l'erreur de reconstruction pour un instrument réaliste de type MIRAS.

Pour cette étude, des valeurs différentes pour les paramètres de modélisation ont été utilisées pour la simulation des visibilités et pour la construction de l'opérateur $\mathbf{A}^+$ à l'aide duquel ont été effectuée les reconstructions. La scène observée est de nouveau la scène réaliste de l'Europe de l'Ouest et la fenêtre d'apodisation est la fenêtre de BLACKMAN.

Une erreur gaussienne a été introduite sur les paramètres de modélisation des antennes : sur , les largeurs à -3 dB des antennes, puis sur , les erreurs d'orientation de l'axe du lobe principal, respectivement transverses et longitudinales. Dans un troisième temps, une erreur gaussienne a aussi été introduite sur l'amplitude puis sur la phase des gains d'antennes.

Afin de juger de la qualité de l'estimation des paramètres opérée dans le chapitre 9, les déviations standards de ces erreurs ont été choisies dans un premier temps du même ordre que les erreurs sur les estimations.

Le tableau 11.3 rappelle le niveau d'erreur introduit ainsi que le biais (< >) et l'erreur RMS (< >) résultants : ces derniers représentent la moyenne des erreurs calculées après 100 tirages aléatoires. Rappelons que l'erreur systématique, calculée en l'absence de bruit sur les données ou d'erreur de modélisation, est pour cette scène caractérisée par un biais de 0.195 K et une erreur RMS de 0.305 K.

**Table &1.3:** Impact d'une erreur de modélisation sur l'erreur de reconstruction : erreurs de modélisation de l'ordre de l'erreur sur l'estimation des paramètres par auto-caractérisation.
Nature de l'erreur	Erreur RMS de modélisation	[K]	[K]


Largeur à -3 dB	2 $^\circ$	+0.175	1.134


Orientation transverse	2 mm	+0.226	0.735


Orientation longitudinale	5 mm	+0.278	0.613


Amplitude	2%	+0.342	1.246


Phase	1.5 $^\circ$	+0.171	1.087

Afin de caractériser plus précisément l'impact d'une erreur de modélisation sur l'erreur de reconstruction pour la méthode régularisée à bande passante limitée, un nouveau tirage a été effectué en introduisant une erreur de l'ordre de celle introduite par Anterrieu et al. EricError dans leur étude sur les conséquences des erreurs instrumentales. Dans ce travail, la modélisation de l'instrument ne tient pas compte de l'effet de décorrélation spatiale et la reconstruction est menée à l'aide d'une simple $\mathcal{TF}$ inverse. Les résultats sont reportés dans le tableau 11.4. L'erreur introduite sur les paramètres de modélisation est cette fois de l'ordre des erreurs attendues après la calibration en vol de ces paramètres.

**Table 11.4:** Impact d'une erreur de modélisation sur l'erreur de reconstruction : erreurs de modélisation de l'ordre de l'erreur de calibration des paramètres.
Nature de l'erreur	Erreur RMS de modélisation	[K]	[K]


Largeur à -3 dB	0.1 $^\circ$	+0.187	0.093


Pointage transverse	1 mm	+0.202	0.453


Pointage longitudinal	1 mm	+0.200	0.324


Amplitude	1%	+0.213	0.506


Phase	0.5 $^\circ$	+0.192	0.462

Pour ce qui est du biais, on n'observe pas d'amélioration par rapport aux résultats donnés dans le tableau 11.3 précédent. Dans la modélisation choisie pour l'instrument, l'une des antennes du réseau est utilisée comme un NIR pour la mesure de la fonction de cohérence spatiale à la fréquence nulle, et donc de la température moyenne de la scène. Cette antenne étant ici perturbée au même niveau que les autres, alors que les NIR seront, dans la réalité, calibrés séparément, même une faible erreur de modélisation peut introduire un biais général dans la distribution estimée.

L'erreur RMS est nettement inférieure que dans le cas précédent mais reste supérieure aux résultats annoncés dans le travail d'Anterrieu et al. EricError. Cependant, les paramètres géophysiques seront estimés d'après des moyennes temporelles et spatiales des cartes reconstruites : l'erreur de reconstruction sera alors naturellement diminuée.

En conclusion, que ce soit du point de vue du bruit sur les données ou d'erreur de modélisation, l'utilisation des méthodes régularisées permettent de maintenir la propagation de ces sources d'erreur à des niveaux compatibles avec les exigences de la télédétection de l'humidité des sols et de la salinité de surface des océans.

Biographie(s) FROEBENIUS, Ferdinand Georg
(26 Octobre 1849, Berlin, Prusse - 3 Août 1917, Berlin, Allemagne)frobenius.eps

Etudiant de l'université de Berlin, Froebenius suit les cours de Kronecker et Weierstrass. Ce dernier l'encadrera durant la thèse qu'il soutient en 1870. En 1874, il est nommé professeur de mathématiques dans cette même université.
Après 12 années passées à Zürich, il reprend la chaire de Kroneker, mort en 1891. C'est Weierstrass qui le recommande chaudement en pensant que seul Froebenius saurait reprendre le flambeau et maintenir la réputation de l'université de Berlin dans les mathématiques. A cette époque, la concurrence fait rage avec l'université de Gottingen, qui oriente son enseignement vers les mathématiques appliquées. Froebenius, quant à lui, éprouve une aversion totale à l'idée que les mathématiques puissent servir à un autre domaine que les mathématiques elle-même. Dernier représentant de la vieille école allemande qui a su produire des éléments aussi brillant que Weierstrass, Kummer ou Kronecker, il ne peut se résoudre à appliquer les réformes nécessaires à l'enseignement des mathématiques à l'université de Berlin. Finalement, nombres d'étudiant opteront pour Gottingen et l'université de Berlin perdra son rang dans la recherche en mathématiques.
Les travaux de Frobenius ont permis des avancées significatives dans la théorie des groupes, sur les groupes abéliens et les groupes de permutations. Sans doute aurait-il été contrarié de savoir que ses travaux en mathématiques si pures et abstraites ont fini par trouver des applications importantes en mécanique quantique et en physique théorique. [bibli]