11.1 Propagation des erreurs aléatoires sur les données

Cette section généralise pour des instruments réalistes de MIRAS et HUT2D des résultats préliminaires pour un instrument en configuration en Y à 10 antennes EricMatres TSI. Un travail mené en collaboration avec Serge Gratton (CERFACS) a permis d'établir une expression plus précise du facteur d'amplification des erreurs dans le cas d'un bruit gaussien sur les données, pour la première fois ici dans le cas d'un instrument réaliste et pour une distribution réaliste de température de brillance.

Un résultat standard de l'analyse numérique donne une estimation de la propagation de l'erreur sur les données vers l'erreur de reconstruction :

où est la plus grande des valeurs propres, la plus petite, et les normes sur les différents espaces étant définies comme suit :

$$=$$ (11.2)

$$=$$ (11.3)

$$=$$ (11.4)

Cependant, la rapport entre et n'est qu'une majoration très large du facteur d'amplification des erreurs. Si les erreurs sur les données ont une statistique gaussienne, il est possible d'arriver à un résultat beaucoup plus précis.

Le bruit radiométrique , gaussien, de déviation standard , est lié à la carte des erreurs de reconstruction par l'opérateur linéaire , représentant les actions successives de reconstruction par l'un opérateurs $\mathbf{G}_m^+$ , $\mathbf{G}_\mu^+$ ou $\mathbf{A}^+$ puis d'apodisation telle que définit dans (8.23) ou (8.24) :

Etant donnée la définition de la norme dans $\mathcal{E}$ , il est alors possible d'établir l'expression suivante pour l'espérance mathématique :

$$=$$ (11.6)

$$=$$ (11.7)

$$=$$ (11.8)

$$=$$ (11.9)

où est la norme de FROBENIUS de . De la même manière, selon la définition de la norme sur $F$ , :

$$=$$ (11.10)

$$=$$ (11.11)

En divisant la relation (11.9) par et en y substituant la valeur de calculée grâce à la relation (11.12), on obtient :

et donc la relation suivante permettant d'établir exactement la propagation moyenne des erreurs sur les données :

Ainsi, comme la norme de FROBENIUS est une fonction croissante de , la sensibilité radiométrique est proportionnelle à la racine carrée du nombre de visibilités ( ) et bien sûr à .

Etant données les simplifications possibles, le facteur d'amplification des erreurs sur les données est tout simplement la norme de FROBENIUS de l'opérateur. Le tableau ci-dessous reprend les résultats exposés dans EricMatres et TSI pour un instrument réaliste. Les opérateurs $\mathbf{G}^+$ et $\mathbf{A}^+$ ont le même facteur d'amplification. L'augmentation de ce dernier comme la racine carrée du nombre de visibilités est vérifiée.

Table 11.1: Variation du facteur d'amplification ([K/K]) avec la fenêtre d'apodisation pour MIRAS et HUT2D : estimation analytique.

fenêtre	MIRAS	HUT2D
Rectangle	8.390	9.647
Hanning	4.140	5.676
Hamming	4.418	5.944
Blackman	3.361	4.821
Filler D	3.653	5.240
Kaiser	4.058	5.228
Mass	4.271	5.192

Afin de vérifier la bonne approximation de cette expression analytique, 100 reconstructions ont été effectuées à partir de visibilités dégradées par un bruit radiométrique gaussien de déviation standard  K, représentatif du bruit radiométrique attendu pour un instrument de type MIRAS.

Cette valeur est calculée d'après l'équation du radiomètre (relation 1.39), pour une bande passante $B = 20$  MHz, un temps d'intégration $\tau = 1.5$  s, une température d'antenne $T_{\textrm{A}}= 250$  K et une température de récepteur  K :

Le tableau 11.2 reprend les résultats obtenus après ces 100 tirages aléatoires. Le facteur d'amplification est calculé après avoir retiré l'erreur RMS systématique de l'erreur de RMS de reconstruction , soit . Là encore, les méthodes de régularisation mathématique et à bande passante limitée conduisent à la même amplification du bruit sur les données.

Table 11.2: Variation du facteur d'amplification ([K/K]) avec la fenêtre d'apodisation pour MIRAS : estimation après simulation.

fenêtre	en l'absence de repliement	en présence de repliement
Rectangle	8.891	6.641
Hanning	4.148	3.241
Hamming	4.445	3.462
Blackman	3.354	2.628
Filler D	3.652	2.857
Kaiser	4.068	3.177
Mass	4.295	3.346

Dans un premier temps, la scène 3 du chapitre 10 (section 1.2) a été utilisée pour la simulation des visibilités et une reconstruction en l'absence de repliement. Les résultats obtenus, visibles dans la seconde colonne du tableau 11.2, sont très proches des résultats prédits par la relation analytique : l'erreur commise est comprise entre 0.02% (pour BLACKMAN) et 0.6% (pour HAMMING) de la valeur analytique pour chacune des fenêtres étudiées et atteint 6% pour la fenêtre rectangle.

Dans un second temps, la scène réaliste de l'Europe de l'Ouest ( , chapitre 10, section 2) est utilisée pour la simulation des visibilités et une reconstruction en présence de repliement. Le facteur d'amplification obtenu est alors inférieur à celui prédit par la relation analytique, d'environ 20% de la valeur analytique initiale. Cette différence peut s'expliquer par le masque appliqué sur la température de brillance reconstruite dans le but de ne conserver que la région exempte de repliement : l'erreur sur les données se reporte uniformément sur l'ensemble de la distribution estimée mais l'amplification ne se fait que sur la partie conservée.