Théories homologiques des algèbres de Hopf
Résumé
In this thesis, we study homological and cohomological theories adapted to Hopf algebras.
In the first part, we unify various cohomological theories for Hopf algebras. Two of them were introduced by M. Gerstenhaber and S.D. Schack; one is without coefficients and is related to the cohomology adapted to the study of deformations of Hopf algebras, the other is a theory with coefficients (they are Hopf bimodules). The third is a generalization of the cohomology which was defined by C. Ospel, it is also a theory with coefficients. To unify these theories, we identify them with the Ext functor on an associative algebra defined by C. Cibils and M. Rosso which is an `enveloping algebra' associated to the Hopf algebra. Next, we establish explicit formulae for a cup-product on two of these cohomologies, and prove that this product corresponds to the Yoneda product of extensions.We also prove Morita invariance for these cohomologies.
The second part of the thesis is devoted to the study of a cyclic homology for Hopf algebras. It is dual to the cyclic cohomology introduced by A. Connes and H. Moscovici. We study some properties, then consider the case of group algebras. We interpret some decompositions (those of Burghelea and Karoubi-Villamayor) of the classical cyclic homology of group algebras in terms of Connes and Moscovici's cyclic homology of Hopf algebras. Then, we establish a decomposition formula (similar to that of Karoubi-Villamayor) for the cyclic homology of a cocommutative Hopf algebra (which generalizes a result of Khalkhali and Rangipour).
Finally, we compute some examples of homologies: the classical cyclic homology of truncated quiver algebras, as well as Connes and Moscovici's cyclic homology in the special case of the Taft algebras, and the Hochschild and classical cyclic homologies of the Auslander algebras of the Taft algebras.
In the first part, we unify various cohomological theories for Hopf algebras. Two of them were introduced by M. Gerstenhaber and S.D. Schack; one is without coefficients and is related to the cohomology adapted to the study of deformations of Hopf algebras, the other is a theory with coefficients (they are Hopf bimodules). The third is a generalization of the cohomology which was defined by C. Ospel, it is also a theory with coefficients. To unify these theories, we identify them with the Ext functor on an associative algebra defined by C. Cibils and M. Rosso which is an `enveloping algebra' associated to the Hopf algebra. Next, we establish explicit formulae for a cup-product on two of these cohomologies, and prove that this product corresponds to the Yoneda product of extensions.We also prove Morita invariance for these cohomologies.
The second part of the thesis is devoted to the study of a cyclic homology for Hopf algebras. It is dual to the cyclic cohomology introduced by A. Connes and H. Moscovici. We study some properties, then consider the case of group algebras. We interpret some decompositions (those of Burghelea and Karoubi-Villamayor) of the classical cyclic homology of group algebras in terms of Connes and Moscovici's cyclic homology of Hopf algebras. Then, we establish a decomposition formula (similar to that of Karoubi-Villamayor) for the cyclic homology of a cocommutative Hopf algebra (which generalizes a result of Khalkhali and Rangipour).
Finally, we compute some examples of homologies: the classical cyclic homology of truncated quiver algebras, as well as Connes and Moscovici's cyclic homology in the special case of the Taft algebras, and the Hochschild and classical cyclic homologies of the Auslander algebras of the Taft algebras.
Dans cette thèse, nous étudions des théories homologiques et cohomologiques adaptées aux algèbres de Hopf.
Dans un premier temps, nous unifions diverses théories cohomologiques pour les algèbres de Hopf. Deux d'entre elles ont été introduites par M. Gerstenhaber et S.D. Schack; l'une est sans coefficients et elle est liée à la cohomologie qui permet d'étudier les déformations d'une algèbre de Hopf, l'autre est une théorie à coefficients (qui sont des bimodules de Hopf). La troisième est une généralisation de la cohomologie qui a été définie par C. Ospel, il s'agit aussi d'une théorie à coefficients. Pour unifier ces théories, nous les identifions au foncteur Ext sur une algèbre associative définie par C. Cibils et M. Rosso qui est une ``algèbre enveloppante'' associée à l'algèbre de Hopf. Nous établissons ensuite des formules explicites pour un cup-produit sur deux de ces cohomologies, et montrons que ce produit correspond au produit de Yoneda des extensions. Nous montrons aussi la Morita invariance de ces cohomologies.
La deuxième partie de la thèse est consacrée à l'étude d'une homologie cyclique pour les algèbres de Hopf. Il s'agit d'une version duale de la cohomologie qu'ont introduite A. Connes et H. Moscovici. Nous en étudions des propriétés, puis considérons le cas des algèbres de groupe. Nous interprétons certaines décompositions (de Burghelea et de Karoubi-Villamayor) de l'homologie cyclique classique d'une algèbre de groupe en termes d'homologie cyclique de Connes et Moscovici. Nous établissons ensuite une formule de décomposition (semblable à celle de Karoubi-Villamayor) de l'homologie cyclique d'une algèbre de Hopf cocommutative (qui généralise un résultat de Khalkhali et Rangipour).
Enfin, nous calculons quelques exemples d'homologies: l'homologie cyclique classique des algèbres de carquois tronquées, ainsi que l'homologie cyclique de Connes et Moscovici dans le cas particulier des algèbres de Taft. Nous calculons aussi l'homologie de Hochschild et l'homologie cyclique classique des algèbres d'Auslander des algèbres de Taft.
Dans un premier temps, nous unifions diverses théories cohomologiques pour les algèbres de Hopf. Deux d'entre elles ont été introduites par M. Gerstenhaber et S.D. Schack; l'une est sans coefficients et elle est liée à la cohomologie qui permet d'étudier les déformations d'une algèbre de Hopf, l'autre est une théorie à coefficients (qui sont des bimodules de Hopf). La troisième est une généralisation de la cohomologie qui a été définie par C. Ospel, il s'agit aussi d'une théorie à coefficients. Pour unifier ces théories, nous les identifions au foncteur Ext sur une algèbre associative définie par C. Cibils et M. Rosso qui est une ``algèbre enveloppante'' associée à l'algèbre de Hopf. Nous établissons ensuite des formules explicites pour un cup-produit sur deux de ces cohomologies, et montrons que ce produit correspond au produit de Yoneda des extensions. Nous montrons aussi la Morita invariance de ces cohomologies.
La deuxième partie de la thèse est consacrée à l'étude d'une homologie cyclique pour les algèbres de Hopf. Il s'agit d'une version duale de la cohomologie qu'ont introduite A. Connes et H. Moscovici. Nous en étudions des propriétés, puis considérons le cas des algèbres de groupe. Nous interprétons certaines décompositions (de Burghelea et de Karoubi-Villamayor) de l'homologie cyclique classique d'une algèbre de groupe en termes d'homologie cyclique de Connes et Moscovici. Nous établissons ensuite une formule de décomposition (semblable à celle de Karoubi-Villamayor) de l'homologie cyclique d'une algèbre de Hopf cocommutative (qui généralise un résultat de Khalkhali et Rangipour).
Enfin, nous calculons quelques exemples d'homologies: l'homologie cyclique classique des algèbres de carquois tronquées, ainsi que l'homologie cyclique de Connes et Moscovici dans le cas particulier des algèbres de Taft. Nous calculons aussi l'homologie de Hochschild et l'homologie cyclique classique des algèbres d'Auslander des algèbres de Taft.