Déformation et quantification par groupoïde des variétés toriques
Résumé
This thesis provides a notion of deformation quantization of Poisson manifolds, in a C*-algebraic framework, in relation with the use of groupoids. This theory is illustrated by examples, in particular the one of toric manifolds. The first part recalls some known facts on groupoids and their C*-algebras discovered in the past decades. The second part exposes the definitions of deformation and quantization used in the thesis, and their translation in terms of groupoids with the important notion of a deformation groupoid. A large class of subgroupoids of Lie groupoids is of this type. The main result of the thesis gives a condition on a manifold M endowed with an action of a torus Tn such that there is a deformation groupoid associated to it. It requires an action of Rn on a manifold containing the orbit space M/Tn ; the groupoid obtained is a subgroupoid of a groupoid of an action of a discrete group. We recover by this method known results for the quantization of Cn and the noncommutative torus and 4-spheres. The third part is an application of this result to the more complicated case of toric manifolds, using the unexpected discoveries of the 80's on the geometry of their moment map. This construction is the first exemple of quantization of toric manifolds, in a C*-algebraic framwork, even is the simplest cases (2-sphere and complex projective spaces). This provides in particular a C*-algebraic quantization of the 2-sphere and of complex projective spaces and answers the problem of the existence of such a quantization.
Cette thèse propose une notion de quantification par déformation des variétés de Poisson au sens des C*-algèbres, en lien notamment avec l'emploi de groupoïdes. Cette théorie s'appuie sur des exemples, notamment celui des variétés toriques. La première partie est un rappel de connaissances développées depuis quelques dizaines d'années sur les groupoïdes et leurs C*-algèbres. La deuxième partie présente les définitions de déformation et de quantification utilisées ensuite, et leur traduction, pour les groupoïdes, dans la notion importante de groupoïde de déformation. Une large classe de sous-groupoïdes des groupoïdes de Lie est de ce type. Enfin le résultat principal de cette thèse est une condition suffisante sur les variétés M munies de l'action d'un tore Tn pour construire un groupoïde de déformation associé, au moyen du choix d'une action de Rn sur une variété contenant le quotient M/Tn ; ce groupoïde se présente comme un sous-groupoïde du groupoïde de l'action d'un groupe discret. On retrouve alors des résultats de quantification connus pour Cn, les tores et les sphères de dimension 4 non commutatifs. La troisième partie applique ce résultat à l'exemple des variétés toriques, dont la géométrie étonnante, en terme de moment notamment, fut découverte dans les années 80. Cette construction fournit le premier exemple de quantification des variétés toriques dans un cadre C*-algebrique, même dans les cas les plus simples (sphère de dimension 2, espaces projectifs complexes).