Invariants de type fini des variétés de dimension trois et structures spinorielles - TEL - Thèses en ligne Access content directly
Theses Year : 2002

Invariants de type fini des variétés de dimension trois et structures spinorielles

Gwénaël Massuyeau

Abstract

M. Goussarov and K. Habiro have introduced in the middle Nineties a finite type invariants theory for compact oriented 3-manifolds. In this thesis, the Goussarov-Habiro theory is refined to the cases when those manifolds are equipped with spin structures or complex spin structures. For closed 3-manifolds with spin structures, we geometrically characterize degree 0 invariants by revealing the role played by some quadratic forms. We also prove that Rochlin invariant of spin 3-manifolds is a finite type invariant of degree 1. We are then interested in homology cylinders over a compact oriented surface with 0 or 1 boundary component. By using the spin refinement of Goussarov-Habiro theory, we characterize degree 1 invariants of homology cylinders. For closed 3-manifolds with complex spin structures, we give a geometric characterization of degree 0 invariants. The latter makes use of a quadratic function canonically associated to any closed oriented 3-manifold endowed with a complex spin structure. Finally, we calculate how the Abelian Reidemeister-Turaev torsion of a closed 3-manifold with complex spin structure changes, when the manifold is twisted along a closed connected splitting surface by a diffeomorphism which acts trivially in homology. In particular, we deduce that, in a restricted sense, the Abelian Reidemeister-Turaev torsion is multiplicatively a finite type invariant of degree 1
M. Goussarov et K. Habiro ont introduit au milieu des années 90 une théorie d'invariants de type fini pour les 3-variétés compactes orientées. Dans cette thèse, nous raffinons la théorie de Goussarov-Habiro aux cas où ces variétés sont équipées de structures spinorielles ou spinorielles complexes. Dans le cas des 3-variétés fermées spinorielles, nous caractérisons géométriquement les invariants de degré 0 en révélant le rôle joué par certaines formes quadratiques. Nous montrons aussi que l'invariant de Rochlin des 3-variétés spinorielles est un invariant de type fini de degré 1. Nous nous intéressons ensuite aux cylindres d'homologie au-dessus d'une surface compacte orientée avec 0 ou 1 composante de bord. En nous aidant du raffinement spinoriel de la théorie de Goussarov-Habiro, nous caractérisons les invariants de degré 1 des cylindres d'homologie. Dans le cas des 3-variétés spinorielles complexes, nous donnons une caractérisation géométrique des invariants de degré 0. Celle-ci s'exprime par une fonction quadratique canoniquement associée à toute 3-variété fermée spinorielle complexe. Enfin, nous calculons la variation subie par la torsion abélienne de Reidemeister-Turaev d'une 3-variété fermée spinorielle complexe, lorsque celle-ci est twistée le long d'une surface fermée connexe scindante par un difféomorphisme agissant trivialement en homologie. Nous en déduisons en particulier que, dans un sens restreint, la torsion abélienne de Reidemeister-Turaev est multiplicativement un invariant de type fini de degré 1.
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Dates and versions

tel-00001919 , version 1 (05-11-2002)

Identifiers

  • HAL Id : tel-00001919 , version 1

Cite

Gwénaël Massuyeau. Invariants de type fini des variétés de dimension trois et structures spinorielles. Mathématiques [math]. Université de Nantes, 2002. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00001919⟩
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