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Theses Year : 2002

Problemes de régularité en optimisation de formes

Abstract

This work deals with regularity in shape optimization. Precisely we study the regularity of an open subset which minimizes the energy of Dirichlet's problem among all open sets with fixed measure and included in a big open set (the whole space for example). The first step is to study the regularity of the optimal state function (the solution of Dirichlet's problem on the minimal open subset): we show that, if the state function does not change its sign then it is locally Lipschitz (in the whole space, not only in the optimal open subset). The second step is to study the regularity of the boundary of the optimal open subset. If the state function is Lipschitz, we show that this open subset has finite perimeter. Finally, if the source term in Dirichlet's equation is non-negative, then the Laplacian of the state function is, on the boundary of the optimal open subset, equal to a constant multiplied by the Hausdorff measure of the boundary. This constant comes from the Euler-Lagrange equation. In a weak form this means that the normal derivative of the state function is constant on the boundary. That is what we expect: if we suppose regularity on the boundary we find this result. We can deduce from this that, away from the support of the source term, the free boundary is, except on a negligible subset, an analytic hypersurface.
Ce travail porte sur les problèmes de régularités en optimisation de forme. Précisément nous étudions la régularité d'un ouvert qui minimise l'énergie du problème de Dirichlet pour le Laplacien parmi tous les ouverts de mesure fixée inclus dans un grand ouvert (par exemple l'espace tout entier). La première étape consiste à regarder la régularité de la fonction d'état optimale (la solution du problème de Dirichlet sur l'ouvert minimal): on montre que, là où elle garde un signe constant, elle est localement lipschitzienne (dans tout l'espace et pas seulement dans l'ouvert optimal). La deuxième étape consiste à étudier la régularité du bord de l'ouvert optimal. Si la fonction d'état est lipschitzienne, on montre que cet ouvert est à périmètre fini. On peut également montré que, là où le terme source est positif, le Laplacien de la fonction d'état est égal, sur le bord de l'ouvert optimal, à une constante multipliée par la mesure de Hausdorff du bord. Cette constante est un multiplicateur de Lagrange dans une équation d'Euler-Lagrange. De manière formelle, cela signifie que la dérivée normale de la fonction d'état est constante sur le bord. Ceci est bien le résultat attendu: si on suppose que l'ouvert optimal est régulier, on le retrouve facilement. On peut enfin déduire de cela que, loin du support du terme source, la frontière de l'ouvert optimal est, en dehors d'un ensemble négligeable, une hypersurface analytique.
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Dates and versions

tel-00002013 , version 1 (25-11-2002)

Identifiers

  • HAL Id : tel-00002013 , version 1

Cite

Tanguy Briançon. Problemes de régularité en optimisation de formes. Mathématiques [math]. Université Rennes 1, 2002. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00002013⟩
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