Stabilite multidimensionnelle d'interfaces dynamiques. Application aux transitions de phase liquide-vapeur.
Résumé
We are interested in the stability of shock waves solutions to
multidimensional hyperbolic systems of conservation laws. This
problem was addressed by Andrew Majda under the so-called uniform
stability assumption. This assumption is crucial in Majda's analysis, but is not met by several examples, for instance liquid-vapor phase transitions. We examine here the stability of those interfaces that do not satisfy the uniform stability assumption, and show how Majda's results extend to such discontinuities.
We first show the linear stability of weakly stable planar shocks,
using a degenerate Kreiss' symmetrizer that takes the neutrally
unstable modes into account. This first step states precisely
the losses of derivatives in the energy estimates. Next, we show
that these estimates remain valid when dealing with the linear
stability of nonplanar interfaces that are close to a planar
shock. The use of paradifferential calculus allows us to deal
with low regularity perturbations of the reference planar shock.
Under a smallness assumption on the global behavior of the
bicharacteristic curves, we show an energy estimate that is
similar to the one derived for the constant coefficients
linearized problem. This result should enable us to prove
the nonlinear stability of weakly stable shock waves.
multidimensional hyperbolic systems of conservation laws. This
problem was addressed by Andrew Majda under the so-called uniform
stability assumption. This assumption is crucial in Majda's analysis, but is not met by several examples, for instance liquid-vapor phase transitions. We examine here the stability of those interfaces that do not satisfy the uniform stability assumption, and show how Majda's results extend to such discontinuities.
We first show the linear stability of weakly stable planar shocks,
using a degenerate Kreiss' symmetrizer that takes the neutrally
unstable modes into account. This first step states precisely
the losses of derivatives in the energy estimates. Next, we show
that these estimates remain valid when dealing with the linear
stability of nonplanar interfaces that are close to a planar
shock. The use of paradifferential calculus allows us to deal
with low regularity perturbations of the reference planar shock.
Under a smallness assumption on the global behavior of the
bicharacteristic curves, we show an energy estimate that is
similar to the one derived for the constant coefficients
linearized problem. This result should enable us to prove
the nonlinear stability of weakly stable shock waves.
On s'interesse dans ce travail a la stabilite des ondes de
choc pour des systemes hyperboliques de lois de conservation
multidimensionnels. Ce probleme a ete traite par Andrew
Majda sous une hypothese, dite de stabilite uniforme, qui
intervient de facon cruciale dans son analyse. Cette hypothese
est cependant mise en defaut dans certains exemples, par exemple
dans l'etude des transitions de phase liquide-vapeur. Nous
examinons ici la stabilite des interfaces qui ne verifient
pas l'hypothese de stabilite uniforme, et montrons comment les
resultats de Majda s'etendent a de telles discontinuites.
On commence par montrer la stabilite lineaire des chocs plans
faiblement stables, a l'aide d'un symetriseur de Kreiss
degenere qui tient compte des modes neutralement instables.
Cette premiere etape etablit un compte precis des pertes de
derivees intervenant dans les estimations d'energie. Dans un
second temps, nous montrons que ces estimations d'energie demeurent
valables lorsque l'on etudie la stabilite des interfaces (non
planes) proches d'un choc plan. L'utilisation du calcul
paradifferentiel nous permet de traiter des perturbations
peu regulieres du choc plan initial. Sous une hypothese de
petitesse sur le comportement global des courbes bicaracteristiques, nous montrons une estimation d'energie semblable a celle etablie pour le probleme linearise a coefficients constants. Ce resultat devrait permettre de montrer la stabilite non lineaire des ondes de choc faiblement stables.
choc pour des systemes hyperboliques de lois de conservation
multidimensionnels. Ce probleme a ete traite par Andrew
Majda sous une hypothese, dite de stabilite uniforme, qui
intervient de facon cruciale dans son analyse. Cette hypothese
est cependant mise en defaut dans certains exemples, par exemple
dans l'etude des transitions de phase liquide-vapeur. Nous
examinons ici la stabilite des interfaces qui ne verifient
pas l'hypothese de stabilite uniforme, et montrons comment les
resultats de Majda s'etendent a de telles discontinuites.
On commence par montrer la stabilite lineaire des chocs plans
faiblement stables, a l'aide d'un symetriseur de Kreiss
degenere qui tient compte des modes neutralement instables.
Cette premiere etape etablit un compte precis des pertes de
derivees intervenant dans les estimations d'energie. Dans un
second temps, nous montrons que ces estimations d'energie demeurent
valables lorsque l'on etudie la stabilite des interfaces (non
planes) proches d'un choc plan. L'utilisation du calcul
paradifferentiel nous permet de traiter des perturbations
peu regulieres du choc plan initial. Sous une hypothese de
petitesse sur le comportement global des courbes bicaracteristiques, nous montrons une estimation d'energie semblable a celle etablie pour le probleme linearise a coefficients constants. Ce resultat devrait permettre de montrer la stabilite non lineaire des ondes de choc faiblement stables.