Groupe fondamental premier à p, nombre de Milnor des singularités isolées, motifs de dimension inférieure ou égale à 1
Résumé
This works is divided into three independent chapters. In the first one, various results are proved relating to the largest quotient of the étale fundamental group prime to the residual characteristics, including the Künneth formula and invariance under change of separably closed field for schemes of finite type over a field. These are derived from general facts about direct images of stacks, once specialized to the case of torsors under a constant finite group of invertible order over the base. Analogous results for the tame fundamental group are discussed as well. In the second chapter, we deduce from the conductor formula, conjectured by S. Bloch, the relation predicted by P. Deligne between the total dimension of the vanishing cycles and the Milnor number of an isolated singularity. Thanks to S. Bloch's work, we can apply this result to relative curves. In the last chapter, $1$-isomotives over a field, in the sense of P.~Deligne, are compared to those introduced by V.~Voevodsky.
Dans le premier chapitre, on démontre divers résultats sur le plus grand quotient du groupe fondamental étale premier aux caractéristiques, parmi lesquels la formule de Künneth et l'invariance par changement de corps séparablement clos pour les schémas de type fini sur un corps. Ces énoncés sont déduits de faits généraux sur les images directes de champs, une fois spécialisés au cas des torseurs sous un groupe constant fini d'ordre inversible sur la base. Des résultats analogues pour le groupe fondamental modéré sont également discutés. Au deuxième chapitre, on déduit de la formule du conducteur, conjecturée par S.~Bloch, celle de P. Deligne exprimant, dans le cas d'une singularité isolée, la dimension totale des cycles évanescents en fonction du nombre de Milnor. En particulier, la formule de Deligne est établie en dimension relative un. Dans le troisième chapitre, on compare les $1$-isomotifs de P.~Deligne sur un corps avec la théorie de V.~Voevodsky en dimension inférieure à $1$.