Intégrales matricielles et Probabilités Non-Commutatives - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2003

Intégrales matricielles et Probabilités Non-Commutatives

Résumé

This dissertation splits into three part. In the first one, we give an explicit formula for the explicit computation of all moments of the Haar measure on the unitary group, in terms of path enumeration on the Cayley graph of the symmetric group. This result yields a general theorem of asymptotic freeness for random matrices, as well as results of convergences of unitary matrix integrals. In particular, we give a combinatorial interpretation of the limit of the Itzykson-Zuber integral as well as a link with Voiculescu's R-transform. In a second part, completely different, we define a non commutative probabilistic framework in which we prove that Martin boundary theory extends and allows an integral representation of any positive harmonic function. As an application of these purely quantum results, we compute Martin boundaries of some classical random walks in a Weyl chamber. The example of a random walk on $SU_q(2)$ is treated as well. In the third part, we propose an analytic approach to asymptotics of Haar measure on a compact group. We compute the image of the Haar measure of the unitary groupo imder contraction by a projector. This allows us to recover and interpret in a combinatorial way some asymptotics obtained in the first part. Besides, we establish that the square of the radial part of a contraction of a unitary random matrix is a Jacobi ensemble. An orthogonal polynomial machinery then allows to strenghten results of asymptotic convergences knows in free probabilty, and establish universality results for eigenvalues.
Cette thèse se décompose en trois parties. Dans la première, nous proposons une formule explicite en termes de comptage de chemins sur un graphe de Cayley, pour le calcul de tous les moments de la mesure de Haar sur le groupe unitaire. Ce résultat fournit un théorème général de liberté asymptotique pour des matrices aléatoires, ainsi que des résultats de convergence d'intégrales matricielles unitaires. En particulier, nous donnons une interprétation combinatoire de la limite de l'intégrale d'Itzykson-Zuber, ainsi qu'un lien avec la $R$-transformée de Voiculescu. Dans une deuxième partie, complètement différente, nous définissons un cadre en probabilités non-commutatives dans lequel nous prouvons que la théorie de Martin s'étend et qu'elle permet une représentation intégrale de toute fonction harmonique positive. Comme application de ces résultats purement quantiques, nous calculons les frontières de Martin de certaines marches au hasard classiques dans une chambre de Weyl. L'exemple d'une marche au hasard sur $SU_q(2)$ est aussi traité de manière exhaustive. Dans la troisième partie, nous proposons une approche analytique des asymptotiques de la mesure de Haar sur un groupe compact. Nous calculons l'image de la mesure de Haar du groupe unitaire par contraction par un projecteur. Ceci nous permet de retrouver et d'interpréter de manière combinatoire certaines asymptotiques obtenues dans la première partie. Par ailleurs, nous établissons que le carré la partie radiale d'une contraction d'une matrice unitaire aléatoire est un ensemble de Jacobi. Une méthode de polynômes orthogonaux permet alors de renforcer des résultats de convergence asymptotiques prédits par les probabilités libres, et d'établir des propriétés d'universalité des valeurs propres.
Fichier principal
Vignette du fichier
tel-00004306.pdf (1.9 Mo) Télécharger le fichier

Dates et versions

tel-00004306 , version 1 (27-01-2004)

Identifiants

  • HAL Id : tel-00004306 , version 1

Citer

Benoit Collins. Intégrales matricielles et Probabilités Non-Commutatives. Mathématiques [math]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2003. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00004306⟩
926 Consultations
731 Téléchargements

Partager

Gmail Facebook X LinkedIn More