Contribution to texture analysis in image processing by variational methods and partial differential equations
Contribution à l'analyse de textures en traitement d'images par méthodes variationnelles et équations aux dérivées partielles
Résumé
This Ph.D. thesis is a work in applied mathematics. It deals with image processing problems, and uses specific mathematical tools.
The aim of the two first parts is to propose a model for decomposing an image f into three components : f=u+v+w. The first one, u, contains the geometrical information. It can be considered as a sketch of the original image f. The second one, v, contains the textures. The third one, w, contains the noise of the original image. Our approach relies on the use of mathematical spaces
adapted to each component : the space BV of functions with bounded variations for u, a space G close to the dual space of BV for v, and a negative Besov space E for w. We carry out the complete mathematical analysis of the different models we propose.
We illustrate our approach with many numerical examples, and we give two applications: a first one in SAR image restoration, and a second one in image compression.
In the third and last part, we only deal with the texture component of an image. We propose a supervised classification algorithm for textured images. Our approach relies on the use of the active contours method. We build a data term specific to textures thanks to a packet wavelet transform. We thus get a functional, whose minimum corresponds to the classification we look for. We numerically solve this problem with a coupled PDEs system. We illustrate our approach with many numerical examples. We also carry out the theoretical study of the classification functional.
The aim of the two first parts is to propose a model for decomposing an image f into three components : f=u+v+w. The first one, u, contains the geometrical information. It can be considered as a sketch of the original image f. The second one, v, contains the textures. The third one, w, contains the noise of the original image. Our approach relies on the use of mathematical spaces
adapted to each component : the space BV of functions with bounded variations for u, a space G close to the dual space of BV for v, and a negative Besov space E for w. We carry out the complete mathematical analysis of the different models we propose.
We illustrate our approach with many numerical examples, and we give two applications: a first one in SAR image restoration, and a second one in image compression.
In the third and last part, we only deal with the texture component of an image. We propose a supervised classification algorithm for textured images. Our approach relies on the use of the active contours method. We build a data term specific to textures thanks to a packet wavelet transform. We thus get a functional, whose minimum corresponds to the classification we look for. We numerically solve this problem with a coupled PDEs system. We illustrate our approach with many numerical examples. We also carry out the theoretical study of the classification functional.
Cette thèse est un travail en mathématiques appliquées. Elle aborde quelques problèmes en analyse d'images et utilise des outils mathématiques spécifiques.
L'objectif des deux premières parties de cette thèse
est de proposer un modèle pour décomposer une image f en trois composantes : f=u+v+w.
La première composante, u, contient l'information géométrique. On peut la considérer comme une esquisse de l'image originale f.
La seconde composante, v, contient l'information texture.
La troisième composante, w, contient le bruit présent dans l'image originale.
Notre approche repose sur l'utilisation d'espaces mathématiques
adaptés à chaque composante: l'espace BV des fonctions à variations bornées pour u, un espace G proche du dual de BV pour les textures, et un espace de Besov d'exposant négatif E pour le bruit.
Nous effectuons l'étude mathématique complète des différents modèles que nous proposons.
Nous illustrons notre approche par de nombreux exemples, et donnons deux applications concrètes : une première en restauration d'images RSO, et une seconde en compression d'images.
Dans la troisième et dernière partie de cette thèse, nous nous intéressons
spécifiquement à la composante texturée.
Nous proposons un algorithme de classification supervisée pour les images texturées. L'approche utilisée est basée sur l'utilisation de la méthode des contours actifs et d'un terme d'attache aux donnés spécifiques au textures. Ce dernier est construit à partir d'une transformée en paquets d'ondelettes. Nous obtenons ainsi une fonctionnelle, dont le minimum correspond à la classification cherchée. Nous résolvons numériquement ce problème à l'aide d'un système couplé d'EDP que nous plongeons dans un schéma dynamique. Nous illustrons notre démarche par de nombreux exemples numériques. Nous effectuons également l'étude théorique de la fonctionnelle de classification.
L'objectif des deux premières parties de cette thèse
est de proposer un modèle pour décomposer une image f en trois composantes : f=u+v+w.
La première composante, u, contient l'information géométrique. On peut la considérer comme une esquisse de l'image originale f.
La seconde composante, v, contient l'information texture.
La troisième composante, w, contient le bruit présent dans l'image originale.
Notre approche repose sur l'utilisation d'espaces mathématiques
adaptés à chaque composante: l'espace BV des fonctions à variations bornées pour u, un espace G proche du dual de BV pour les textures, et un espace de Besov d'exposant négatif E pour le bruit.
Nous effectuons l'étude mathématique complète des différents modèles que nous proposons.
Nous illustrons notre approche par de nombreux exemples, et donnons deux applications concrètes : une première en restauration d'images RSO, et une seconde en compression d'images.
Dans la troisième et dernière partie de cette thèse, nous nous intéressons
spécifiquement à la composante texturée.
Nous proposons un algorithme de classification supervisée pour les images texturées. L'approche utilisée est basée sur l'utilisation de la méthode des contours actifs et d'un terme d'attache aux donnés spécifiques au textures. Ce dernier est construit à partir d'une transformée en paquets d'ondelettes. Nous obtenons ainsi une fonctionnelle, dont le minimum correspond à la classification cherchée. Nous résolvons numériquement ce problème à l'aide d'un système couplé d'EDP que nous plongeons dans un schéma dynamique. Nous illustrons notre démarche par de nombreux exemples numériques. Nous effectuons également l'étude théorique de la fonctionnelle de classification.
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