Variational problems related to the area of surfaces
Problèmes variationnels liés à l'aire
Résumé
The main focus of my work is the classification and rigidity properties of the critical points of the area functional -- minimal surfaces and the like -- for surfaces in Euclidean or more general homogeneous spaces. The setting is Riemannian or Hermitian. I have tried to understand and describe the structure of the PDE corresponding to the geometric variational problem, and of its solutions. Using conformal parametrizations, I have characterized those solutions that satisfy certain geometric or topological requirements, such as: embeddedness, period closing condition (genus 1) or isoperimetry.
In the first part of this work, I consider classical minimal surfaces in three dimensional Euclidean space, whose analytical structure is given by Weierstrass representation formula. Using this formula, one reduces a topologically or geometrically constrained problem (e.g. number of ends, finite total curvature, simple periodicity) to a complex analysis problem on a Riemann surface. I obtain thus a rigidity theorem for Riemann minimal staircase. However my most important results bear on the behavior of embedded minimal ends of infinite total curvature and finite type. I have shown indeed that the embeddedness condition alone limits considerably the Weierstrass data, practically forcing the end to be asymptotic to the helicoid. This result plays a part in the recent proof by Meeks and Rosenberg of the uniqueness of the helicoid as properly embedded simply connected minimal surface.
In the second part, I display various results on the isoperimetric problem in flat periodic spaces in three dimensions. This is still today an open problem involving constant mean curvature surfaces. I have in particular worked on the sphere-cylinder-plane conjecture in three dimensional tori and obtained sharp inequalities for the cases where the conjecture holds. I have also proven that surfaces with too many symmetries in the cube cannot be isoperimetric, but for spheres. Finally a numerical study hints at the reason why this problem remains so difficult.
In the third part are my results on Hamiltonian stationary Lagrangian surfaces, in Euclidean four space and in Hermitian symmetric spaces as well. I show how the associated PDE is an integrable system (as in the CMC case). From that various applications are proven, such as construction of finite type tori, Weierstrass-type potential representation (using loop groups). This approach is further refined in the Euclidean case into a spinor representation that actually solves even the period problem (for tori). A generalization to higher dimensions is sketched.
In the first part of this work, I consider classical minimal surfaces in three dimensional Euclidean space, whose analytical structure is given by Weierstrass representation formula. Using this formula, one reduces a topologically or geometrically constrained problem (e.g. number of ends, finite total curvature, simple periodicity) to a complex analysis problem on a Riemann surface. I obtain thus a rigidity theorem for Riemann minimal staircase. However my most important results bear on the behavior of embedded minimal ends of infinite total curvature and finite type. I have shown indeed that the embeddedness condition alone limits considerably the Weierstrass data, practically forcing the end to be asymptotic to the helicoid. This result plays a part in the recent proof by Meeks and Rosenberg of the uniqueness of the helicoid as properly embedded simply connected minimal surface.
In the second part, I display various results on the isoperimetric problem in flat periodic spaces in three dimensions. This is still today an open problem involving constant mean curvature surfaces. I have in particular worked on the sphere-cylinder-plane conjecture in three dimensional tori and obtained sharp inequalities for the cases where the conjecture holds. I have also proven that surfaces with too many symmetries in the cube cannot be isoperimetric, but for spheres. Finally a numerical study hints at the reason why this problem remains so difficult.
In the third part are my results on Hamiltonian stationary Lagrangian surfaces, in Euclidean four space and in Hermitian symmetric spaces as well. I show how the associated PDE is an integrable system (as in the CMC case). From that various applications are proven, such as construction of finite type tori, Weierstrass-type potential representation (using loop groups). This approach is further refined in the Euclidean case into a spinor representation that actually solves even the period problem (for tori). A generalization to higher dimensions is sketched.
Mes travaux ont porté sur la classification et la rigidité des points critiques de la fonctionnelle d'aire -- variétés minimales et apparentées -- pour des surfaces dans l'espace euclidien ou plus généralement dans certains espaces homogènes. Le cadre est riemannien ou hermitien, et je me suis attaché à comprendre et décrire la structure de l'équation aux dérivées partielles associée au problème géométrique, et celle de ses solutions. En utilisant des paramétrisations conformes, j'ai caractérisé notamment les solutions satisfaisant des conditions géométriques ou topologiques telles que le plongement, la fermeture des périodes en genre un (pour des tores lagrangiens) ou l'isopérimétrie.
Dans une première partie, j'aborde essentiellement les surfaces minimales « classiques » dans l'espace euclidien de dimension 3, dont la structure analytique est donnée par la représentation de Weierstrass. Celle-ci peut-être utilisée pour ramener un problème sous contrainte topologico-géométrique (nombre de bouts, courbure totale finie, simple périodicité) à un problème d'analyse complexe sur une surfaces de Riemann, et j'en déduis un théorème de rigidité concernant l'escalier de Riemann. Mais les résultats les plus importants concernent le comportement des bouts minimaux plongés, de courbure totale infinie mais de type fini. On montre en effet que l'hypothèse de plongement contraint considérablement les données de de l'immersion, ce qui a pour conséquence géométrique que la surface est 0-asymptotique à l'hélicoïde. Ce résultat joue un rôle dans la preuve récente par Meeks et Rosenberg de l'unicité de l'hélicoïde comme surface proprement plongée simplement connexe.
Dans la seconde partie, j'expose mes travaux sur le problème isopérimétrique dans les espaces plats périodiques de dimension trois. C'est un problème encore ouvert aujourd'hui, qui concerne les surfaces à courbure moyenne constante. J'ai notamment travaillé sur la conjecture sphère-cylindre-plan dans les tores de dimension 3, et démontré des inégalités pointues classifiant les cas (variétés, volumes) où la conjecture est vérifiée. Dans un autre registre, j'ai montré que les surfaces CMC possédant trop de symétries (les retournements diagonaux) ne peuvent être isopérimétriques, à l'exception des sphères bien sûr. Enfin, une étude numérique justifie que ce problème reste si difficile à résoudre.
En troisième partie se trouvent mes travaux sur les surfaces lagrangiennes stationnaires hamiltoniennes, dans l'espace euclidien de dimension quatre, et aussi dans les espaces symétriques hermitiens. Après une introduction à ce domaine de la géométrie, on montrera que l'équation aux dérivées partielles de ce problème variationnel est associée à un système intégrable (comme dans le cas des surfaces CMC), avec différentes applications, telles la construction de tores de type fini, ou par potentiel suivant la méthode DPW (via les groupe de lacets). Cette approche est raffinée dans le cas euclidien où une représentation spinorielle permet de décrire explicitement les tores stationnaires hamiltoniens, résolvant même les problèmes de périodes. Enfin une généralisation aux dimensions supérieures est esquissée.
Dans une première partie, j'aborde essentiellement les surfaces minimales « classiques » dans l'espace euclidien de dimension 3, dont la structure analytique est donnée par la représentation de Weierstrass. Celle-ci peut-être utilisée pour ramener un problème sous contrainte topologico-géométrique (nombre de bouts, courbure totale finie, simple périodicité) à un problème d'analyse complexe sur une surfaces de Riemann, et j'en déduis un théorème de rigidité concernant l'escalier de Riemann. Mais les résultats les plus importants concernent le comportement des bouts minimaux plongés, de courbure totale infinie mais de type fini. On montre en effet que l'hypothèse de plongement contraint considérablement les données de de l'immersion, ce qui a pour conséquence géométrique que la surface est 0-asymptotique à l'hélicoïde. Ce résultat joue un rôle dans la preuve récente par Meeks et Rosenberg de l'unicité de l'hélicoïde comme surface proprement plongée simplement connexe.
Dans la seconde partie, j'expose mes travaux sur le problème isopérimétrique dans les espaces plats périodiques de dimension trois. C'est un problème encore ouvert aujourd'hui, qui concerne les surfaces à courbure moyenne constante. J'ai notamment travaillé sur la conjecture sphère-cylindre-plan dans les tores de dimension 3, et démontré des inégalités pointues classifiant les cas (variétés, volumes) où la conjecture est vérifiée. Dans un autre registre, j'ai montré que les surfaces CMC possédant trop de symétries (les retournements diagonaux) ne peuvent être isopérimétriques, à l'exception des sphères bien sûr. Enfin, une étude numérique justifie que ce problème reste si difficile à résoudre.
En troisième partie se trouvent mes travaux sur les surfaces lagrangiennes stationnaires hamiltoniennes, dans l'espace euclidien de dimension quatre, et aussi dans les espaces symétriques hermitiens. Après une introduction à ce domaine de la géométrie, on montrera que l'équation aux dérivées partielles de ce problème variationnel est associée à un système intégrable (comme dans le cas des surfaces CMC), avec différentes applications, telles la construction de tores de type fini, ou par potentiel suivant la méthode DPW (via les groupe de lacets). Cette approche est raffinée dans le cas euclidien où une représentation spinorielle permet de décrire explicitement les tores stationnaires hamiltoniens, résolvant même les problèmes de périodes. Enfin une généralisation aux dimensions supérieures est esquissée.