Homological finiteness criteria for non-convergence in term rewriting systems
Critères de finitude homologique pour la non convergence des systèmes de réécriture de termes
Résumé
We construct homological finiteness conditions for the existence of finite type convergent presentations by rewriting of one-sorted and first-order equational theories. An equational theory is semantically described by an algebraic theory in the sense of Lawvere. Generalising the MacLane homology of rings, we introduce the homology of such an algebraic theory with coefficients in non additive bimodules. This homology can be interpretated in terms of Hochschild-Mitchell homology of the underlying small category. We generalise the free resolutions of Squier and Kobayashi from the string rewriting to the rewriting of morphisms in small categories. By using these resolutions, we prove that any algebraic theory admitting a finite type convergent presentation is of type bi-$\mathrm(PF)_(\infty)$. We construct a decidable non unitary equational theory which does not admit a finite type convergent presentation.
L'algorithme de complétion de Knuth-Bendix permet, dans certains
cas, d'utiliser les systèmes de réécriture pour décider le
problème du mot dans un monoïde. Le problème du mot est alors
réduit a un calcul de forme normale. Cependant, tous les monoïdes
décidables ne peuvent pas être résolus de cette façon. Un
programme, initie par Squier, vise a caractériser par des
invariants algébriques la classe des monoïde décidables par
réécriture.
L'objectif de cette thèse est d'étendre ce travail a la réécriture
de termes.
Nous établissons des conditions de finitude homologique pour
l'existence de présentations convergentes de type fini par
réécriture de termes de théories équationnelles du premier ordre
avec une sorte. Une théorie équationnelle est sémantiquement
décrite par une théorie algébrique au sens de Lawvere. Nous
introduisons l'homologie de ces théories à coefficients dans les
bimodules non additifs, comme généralisation de l'homologie de
MacLane des anneaux. Cette homologie admet une interprétation en
terme d'homologie de Hochschild-Mitchell de la petite catégorie
sous-jacente. Nous généralisons les résolutions libres de Squier
et Kobayashi, établies en réécriture de mots, à la réécriture de
petites catégories. En utilisant ces résolutions, nous montrons
qu'une théorie algébrique admettant une présentation convergente
de type fini est de type bi-$\mathrm(PF)_(\infty)$. Nous
construisons une théorie équationnelle, non unaire, décidable et
n'admettant pas de présentation convergente de type fini.
cas, d'utiliser les systèmes de réécriture pour décider le
problème du mot dans un monoïde. Le problème du mot est alors
réduit a un calcul de forme normale. Cependant, tous les monoïdes
décidables ne peuvent pas être résolus de cette façon. Un
programme, initie par Squier, vise a caractériser par des
invariants algébriques la classe des monoïde décidables par
réécriture.
L'objectif de cette thèse est d'étendre ce travail a la réécriture
de termes.
Nous établissons des conditions de finitude homologique pour
l'existence de présentations convergentes de type fini par
réécriture de termes de théories équationnelles du premier ordre
avec une sorte. Une théorie équationnelle est sémantiquement
décrite par une théorie algébrique au sens de Lawvere. Nous
introduisons l'homologie de ces théories à coefficients dans les
bimodules non additifs, comme généralisation de l'homologie de
MacLane des anneaux. Cette homologie admet une interprétation en
terme d'homologie de Hochschild-Mitchell de la petite catégorie
sous-jacente. Nous généralisons les résolutions libres de Squier
et Kobayashi, établies en réécriture de mots, à la réécriture de
petites catégories. En utilisant ces résolutions, nous montrons
qu'une théorie algébrique admettant une présentation convergente
de type fini est de type bi-$\mathrm(PF)_(\infty)$. Nous
construisons une théorie équationnelle, non unaire, décidable et
n'admettant pas de présentation convergente de type fini.