Nambu structures and super-theorem of Amitsur-Levitzki
Structures de Nambu et super-théorème d'Amitsur-Levitzki
Résumé
In this thesis, we establish new polynomial identities in a non commutative combinatorial framework. In the first part, we present new Nambu-Lie structures by classifying all (n-1)-structures in \R^n and we give a method for defining all-order brackets in Lie algebras. We are able to quantify one of our structures, thanks to standard polynomials and even Clifford algebras. In the second part of our work, we generalize the notion of standard polynomials to graded algebras, and we prove an Amitsur-Levitzki type theorem for the Lie superalgebras \osp(1,2n) inspired by Kostant's cohomological interpretation of the classical theorem. We give super versions of properties and results needed in Kostant's proof, notably we define a super transgression operator generalizing Cartan-Chevalley's classical one.
Dans cette étude, nous cherchons à établir des identités polynomiales dans le cadre de la combinatoire non-commutative. Dans un premier temps, nous présentons de nouvelles structures de Nambu-Lie, en classifiant totalement les (n-1)-structures sur l'espace R^n, et en donnant une méthode permettant de construire des crochets de tout ordre sur une algèbre de Lie. Nous proposons également une quantification de l'une de nos structures, grâce aux polynômes standards et aux algèbres de Clifford d'indice pair. Dans un second moment, en généralisant la notion de polynôme standard au cas des algèbres graduées, nous cherchons à démontrer une version du théorème d'Amitsur-Levitzki sur les superalgèbres de Lie osp(1,2n) en suivant une démonstration de Kostant dans le cas classique. Nous sommes amenés à démontrer des super-versions des propriétés et résultats nécessaires à la démonstration dans le cas classique, notamment en définissant un super-opérateur de transgression de Cartan-Chevalley.
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