Random fields: self-similarity, anisotropy and directional analysis
Champs aléatoires: autosimilarité, anisotropie et étude directionnelle
Résumé
We study random fields that can modelize some porous media. We are mainly interested in second order statistics and focus on self-similarity properties. Under stationary assumptions, the field is characterized by a spectral measure. Asymptotic self-similarity properties are then given by the directional asymptotic homogeneity of the measure. Its parameter is given by the smallest coefficient of homogeneity in a logarithmic scale. To recover anisotropy one can perform a Radon transform of the field for which the self-similarity parameter depends on the direction. These second order results are well adapted to Gaussian models. In this case, the self-similarity parameter can be estimated with the quadratic variations. We consider injectivity problems for the Radon transform. In the last part, we study a Poissonian model obtained by small aggregated balls. Self-similarity properties are similar for second order statistics but unusual for convergence in law.
Nous étudions des champs aléatoires pouvant modéliser certains milieux poreux. Nous nous intéressons à leurs statistiques au second ordre et en particulier à leur autosimilarité. Sous des hypothèses de stationnarité, une mesure spectrale caractérise le champ. L'homogénéité asymptotique directionnelle de la mesure détermine l'autosimilarité asymptotique du champ; le plus petit coefficient d'homogénéité dans une échelle logarithmique en donne l'ordre. Pour déterminer l'anisotropie on peut considérer une transformée de Radon du champ dont l'ordre d'autosimilarité dépend de la direction. Ces résultats au second ordre sont adaptés à des modèles gaussiens, l'ordre d'autosimilarité s'estimant par les variations quadratiques. Nous considérons le problème de l'injectivité des transformées de Radon. Enfin, nous étudions un modèle poissonien obtenu par agrégation de petites boules. Les propriétés d'autosimilarité sont analogues au second ordre mais atypiques pour la convergence en loi.
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