Isoperimetric inequalities on graphs and applications in differential geometry
Inégalités isopérimétriques sur les graphes et applications en géométrie différentielle
Résumé
This thesis study certain global isoperimetric inequalities on metric graphs and riemannian manifolds. We first etablish for metric graphs an isoperimetric inequality between the volume entropy and the systole, and describe the geometry of the unit ball of the stable norm by combinatorial properties of the graph. Next we show that, for a Riemannian manifold (M, g) fixed of non trivial first Betti number, a large class of polytopes can appear as unit ball of the stable norm of metrics in the conformal class of g. Then we exhib an upperbound of the systolic volume of the connected sum of n copies of a manifold M that proves the sublinearity of the systolic constant as a function in n for any dimension. We finally present an inequality between the systole, the length of the systolic loop and the diameter of a simply connected riemannian manifold whose second homotopic group is non trival.
Cette thèse étudie certaines inégalités isopérimétriques globales sur les graphes métriques et les variétés riemanniennes. Tout d'abord, nous établissons pour un graphe métrique une inégalité isopérimétrique entre l'entropie volumique et la systole, puis étudions la géométrie de la boule unité de la norme stable en fonction de la combinatoire du graphe. Nous poursuivons en montrant que, pour une variété riemannienne fermée (M,g) de dimension au moins trois et de premier nombre de Betti non nul, une large classe de polytopes apparaît comme boule unité de la norme stable d'une métrique dans la classe conforme de g. Nous exhibons ensuite une borne supérieure de la constante systolique de la somme connexe de n exemplaires d'une variété M, montrant ainsi que la croissance de la constante systolique en fonction de n est toujours plus lente que la croissance linéaire. Enfin, nous démontrons une inégalité entre la systole, la longueur du lacet systolique et le diamètre d'une variété riemannienne simplement connexe dont le second groupe homotopique est non trivial.
Loading...