Density estimation in higher dimensions and functional classification
Estimation de densité en dimension élevée et classification de courbes
Résumé
The goal of this thesis is to study and develop methods for density estimation and curve classification in higher dimensions. This study is structured into three parts.
The first part, entitled complements on modified histograms, is organized in two chapters and is devoted to the study of a family of nonparametric density estimates, namely modified histograms. These estimates are known to have good consistency properties according to information theoretic criteria. In the first chapter, these estimates are viewed as dynamical systems with infinite dimensional state space. The second chapter deals with the study of these estimates for dimensions greater than one.
The second part of this thesis, entitled combinatorial methods in density estimation, is divided into two chapters. We are interested in nonasymptotic error bounds for density estimates selected within a family of candidates (not necessary finite). In the first chapter, we study the performance of these methods in selecting the free parameters of the modified histograms. We continue, in the second chapter, with the selection of kernel density estimates using bandwidths which vary with the location and the data.
The third and last part, more applied and independent of the preceding ones, provides a new method which allows us to classify curves by expanding the sample data on a wavelet basis.
The first part, entitled complements on modified histograms, is organized in two chapters and is devoted to the study of a family of nonparametric density estimates, namely modified histograms. These estimates are known to have good consistency properties according to information theoretic criteria. In the first chapter, these estimates are viewed as dynamical systems with infinite dimensional state space. The second chapter deals with the study of these estimates for dimensions greater than one.
The second part of this thesis, entitled combinatorial methods in density estimation, is divided into two chapters. We are interested in nonasymptotic error bounds for density estimates selected within a family of candidates (not necessary finite). In the first chapter, we study the performance of these methods in selecting the free parameters of the modified histograms. We continue, in the second chapter, with the selection of kernel density estimates using bandwidths which vary with the location and the data.
The third and last part, more applied and independent of the preceding ones, provides a new method which allows us to classify curves by expanding the sample data on a wavelet basis.
L'objectif de cette thèse consiste étudier et approfondir des techniques d'estimation de la densité et de classification dans des espaces de dimension élevée. Nous avons choisi de structurer notre travail en trois parties.
La première partie, intitulée compléments sur les histogrammes modifiés, est composée de deux chapitres consacrés l'étude d'une famille d'estimateurs non paramétriques de la densité, les histogrammes modifiés, connus pour posséder de bonnes propriétés de convergence au sens des critères de la théorie de l'information. Dans le premier chapitre, ces estimateurs sont envisagés comme des systèmes dynamiques espace d'états de dimension infinie. Le second chapitre est consacré l'étude de ces estimateurs pour des dimensions suprieures un.
La deuxième partie de la thèse, intituleé méthodes combinatoires en estimation de la densité, se divise en deux chapitres. Nous nous intéressons dans cette partie aux performances distance finie d'estimateurs de la densité sélectionnés à l'intérieur d'une famille d'estimateurs candidats, dont le cardinal n'est pas nécessairement fini. Dans le premier chapitre, nous étudions les performances de ces méthodes dans le cadre de la sélection des différents paramètres des histogrammes modifiés. Nous poursuivons, dans le deuxième chapitre, par la sélection d'estimateurs à noyau dont le paramètre de lissage s'adapte localement au point d'estimation et aux données.
Enfin, la troisième et dernière partie, plus appliquée et indépendante des précédentes, présente une nouvelle méthode permettant de classer des courbes partir d'une décomposition des observations dans des bases d'ondelettes.
La première partie, intitulée compléments sur les histogrammes modifiés, est composée de deux chapitres consacrés l'étude d'une famille d'estimateurs non paramétriques de la densité, les histogrammes modifiés, connus pour posséder de bonnes propriétés de convergence au sens des critères de la théorie de l'information. Dans le premier chapitre, ces estimateurs sont envisagés comme des systèmes dynamiques espace d'états de dimension infinie. Le second chapitre est consacré l'étude de ces estimateurs pour des dimensions suprieures un.
La deuxième partie de la thèse, intituleé méthodes combinatoires en estimation de la densité, se divise en deux chapitres. Nous nous intéressons dans cette partie aux performances distance finie d'estimateurs de la densité sélectionnés à l'intérieur d'une famille d'estimateurs candidats, dont le cardinal n'est pas nécessairement fini. Dans le premier chapitre, nous étudions les performances de ces méthodes dans le cadre de la sélection des différents paramètres des histogrammes modifiés. Nous poursuivons, dans le deuxième chapitre, par la sélection d'estimateurs à noyau dont le paramètre de lissage s'adapte localement au point d'estimation et aux données.
Enfin, la troisième et dernière partie, plus appliquée et indépendante des précédentes, présente une nouvelle méthode permettant de classer des courbes partir d'une décomposition des observations dans des bases d'ondelettes.
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