The category Fquad of generalized Mackey functors for the quadratic forms over F_2
La catégorie Fquad des foncteurs de Mackey généralisés pour les formes quadratiques sur F_2
Résumé
The purpose of this work is to construct and study functor categories associated to F_2-vector spaces equipped with a quadratic form. After the construction of the category Fquad by use of similar techniques as for Mackey functors, we obtain several results about simple objects of this category.
We prove the existence of a faithful, exact functor, noted by i, from F to Fquad, which preserves simple objects, where F is the category of functors from the category of finite F_2-vector spaces to the category of all vector spaces.
We introduce another functor category, noted by Fiso, whose simple objects are indexed by the irreducible modular representations of possibly degenerate orthogonal groups over F_2 and we prove the existence of a faithful, exact functor, noted by k, from Fiso to Fquad, which preserves simple objects.
Using the decomposition of the first two projective generators of the category Fquad, we obtain a classification of the simple objects of lowest rank of Fquad, which allows us to prove that the polynomial functors of Fquad are in the image of the functor i. In the decomposition of these projective generators appear new functors of Fquad, called mixed functors, which give two infinite families of simple objects of Fquad, which do not arise from the categories F and Fiso.
We prove the existence of a faithful, exact functor, noted by i, from F to Fquad, which preserves simple objects, where F is the category of functors from the category of finite F_2-vector spaces to the category of all vector spaces.
We introduce another functor category, noted by Fiso, whose simple objects are indexed by the irreducible modular representations of possibly degenerate orthogonal groups over F_2 and we prove the existence of a faithful, exact functor, noted by k, from Fiso to Fquad, which preserves simple objects.
Using the decomposition of the first two projective generators of the category Fquad, we obtain a classification of the simple objects of lowest rank of Fquad, which allows us to prove that the polynomial functors of Fquad are in the image of the functor i. In the decomposition of these projective generators appear new functors of Fquad, called mixed functors, which give two infinite families of simple objects of Fquad, which do not arise from the categories F and Fiso.
Le but de ce travail est de construire et d'étudier des catégories de foncteurs associées aux espaces vectoriels munis de formes quadratiques non dégénérées sur F_2. Après avoir construit la catégorie de foncteurs Fquad, en utilisant des techniques similaires à celles utilisées pour les foncteurs de Mackey, on obtient plusieurs résultats concernant les objets simples de cette catégorie.
On montre l'existence d'un foncteur, noté i, de F dans Fquad exact, fidèle et préservant les simples, où F est la catégorie des foncteurs entre la catégorie des espaces vectoriels finis sur F_2 et la catégorie de tous les espaces vectoriels.
On introduit une autre catégorie de foncteurs, notée Fiso, dont les objets simples sont indexés par les représentations modulaires irréductibles des groupes orthogonaux, éventuellement dégénérés, sur F_2 et on montre l'existence d'un foncteur, noté k, de Fiso dans Fquad exact, fidèle et préservant les simples.
En décomposant les deux générateurs projectifs les plus simples de la catégorie Fquad on obtient une classification des ``petits'' objets simples de Fquad qui nous permet de montrer que les foncteurs polynomiaux de Fquad sont dans l'image du foncteur i. De nouveaux foncteurs de Fquad, baptisés foncteurs mixtes, apparaissent dans la décomposition de ces deux générateurs projectifs et fournissent deux familles infinies de foncteurs simples de Fquad ne provenant ni de F, ni de Fiso.
On montre l'existence d'un foncteur, noté i, de F dans Fquad exact, fidèle et préservant les simples, où F est la catégorie des foncteurs entre la catégorie des espaces vectoriels finis sur F_2 et la catégorie de tous les espaces vectoriels.
On introduit une autre catégorie de foncteurs, notée Fiso, dont les objets simples sont indexés par les représentations modulaires irréductibles des groupes orthogonaux, éventuellement dégénérés, sur F_2 et on montre l'existence d'un foncteur, noté k, de Fiso dans Fquad exact, fidèle et préservant les simples.
En décomposant les deux générateurs projectifs les plus simples de la catégorie Fquad on obtient une classification des ``petits'' objets simples de Fquad qui nous permet de montrer que les foncteurs polynomiaux de Fquad sont dans l'image du foncteur i. De nouveaux foncteurs de Fquad, baptisés foncteurs mixtes, apparaissent dans la décomposition de ces deux générateurs projectifs et fournissent deux familles infinies de foncteurs simples de Fquad ne provenant ni de F, ni de Fiso.
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