Problems of linearization in some families of analytic germs.
Problèmes de linéarisation dans des familles de germes analytiques.
Résumé
We are interested in the linearization of some families of analytic germs. By generalizing definitions and properties of transfinite diameter, we obtain a polynomial majoration theorem that works both for the complex and the p-adic numbers. Then these tools are used to give a new proof of Perez-Marco's theorem about the linearization of non-resonant families of analytic germs under a polynomial perturbation. This proof allows the generalization of Perez-Marco's theorem to the p-adic case. Furthermore, with this new point of view, we obtain a diophantine information and give new examples of non linearizable germs. We generalize this theorem to the case of a perturbation with rational maps. Finally, a reasonant case is studied and we give a new proof, more elementary, of some properties of the centralizer of germs tangent to identity.
Nous nous intéressons à la linéarisation de certaines familles de germes analytiques. En généralisant les définitions et propriétés du diamètre transfini, nous obtenons un théorème de majoration polynomiale valable à la fois pour les nombres complexes et p-adiques. Nous utilisons ensuite ces outils pour donner une nouvelle démonstration du théorème de Perez-Marco concernant la linéarisation des familles non résonantes de germes analytiques qui subissent une perturbation polynomiale. Cette nouvelle preuve permet de démontrer un analogue du théorème de Perez-Marco dans le cadre p-adique. De plus, cette nouvelle technique nous permet de récupérer une information diophantienne et donne de nouveaux exemples de germes non linéarisables. Nous généralisons ensuite ce théorème au cas des perturbations par des fractions rationnelles et finissons par étudier un cas résonant et retrouvons, de façon élémentaire, certaines propriétés concernant le centralisateur des germes tangents à l'identité.
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