Méthodes asymptotiques pour le calcul des champs électromagnétiques dans des milieux à couches minces.<br />Application aux cellules biologiques. - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2006

Asymptotic methods in domains with thin layer to compute electromagnetic field in biological cells.

Méthodes asymptotiques pour le calcul des champs électromagnétiques dans des milieux à couches minces.
Application aux cellules biologiques.

Clair Poignard

Résumé

This thesis deals with asymptotic methods for electromagnetism in
heterogeneous domains with thin layer. The motivation is the
computation of electromagnetic fields in biological cells, which are
highly heterogeneous media. We replace the thin cytoplasmic
membrane with an appropriate condition on the boundary of the
cytoplasm and we estimate the error.
Two equations are considered: the steady state voltage equation and
Helmholtz equation. For the low frequency case, we suppose that
Neumann condition is imposed on the exterior boundary of the cell. We
build approximated boundary condition, which is valid for an
insulating (even perfectly insulating) thin membrane. For Helmholtz
equation, we suppose that the cell is embedded in an ambiant medium
and we build transmission conditions equivalent to the thin
membrane. All these results are proved and numerically computed.
For the high-frequency assumption (the frequency tends to infinity),
we build generalized impedance condition using pseudo-differential
approach equivalent to the membrane. We conclude this thesis with a
work with Michael Vogelius on the high frequency scattering by a small
circular inhomogeneity.
Dans cette thèse, nous présentons des méthodes asymptotiques
mathématiquement justifiées permettant de connaître les champs
électromagnétiques dans des milieux à couches minces hétérogènes.
La motivation de ce travail est le calcul du champ électrique dans des
cellules biologiques composées d'un cytoplasme conducteur entouré
d'une fine membrane très isolante.
Nous remplaçons la membrane, lorsque son épaisseur est infiniment
petite, par des conditions de transmission ou des conditions aux
limites appropriées et nous estimons l'erreur commise par ces
approximations.
Pour les basses fréquences, nous considérons l'équation quasistatique
donnant le potentiel dont dérive le champ. A l'aide d'un
calcul en géométrie circulaire nous obtenons les expressions explicites
du potentiel et nous en déduisons les asymptotiques du champ
électrique, en fonction de l'épaisseur de la couche mince, avec des
estimations de l'erreur. Nous estimons ensuite la différence entre le
champ réel et le champ statique. Puis nous généralisons notre
développement asymptotique à une géométrie quelconque.
La deuxième partie de cette thèse traite des moyennes fréquences :
nous donnons le développement asymptotique de la solution de
l'équation de Helmholtz lorsque l'épaisseur de la membrane tend vers
0. Tous ces précédents résultats sont illustrés par des calculs par
éléments finis.
Enfin, pour les hautes fréquences, nous construisons une condition
d'impédance pseudodifférentielle permettant de concentrer l'effet de
la couche sur son bord intérieur. Nous concluons cette thèse par un
problème de diffraction à haute fréquence d'une onde incidente par
un disque de petite taille. A l'aide d'une analyse pseudodifférentielle,
nous bornons la norme de la trace du champ diffracté à distance fixe
de l'inhomogénéité en fonction de la taille de l'objet et de l'onde
incidente.
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Dates et versions

tel-00124110 , version 1 (12-01-2007)
tel-00124110 , version 2 (17-03-2007)

Identifiants

  • HAL Id : tel-00124110 , version 2

Citer

Clair Poignard. Méthodes asymptotiques pour le calcul des champs électromagnétiques dans des milieux à couches minces.
Application aux cellules biologiques.. Mathématiques [math]. Université Claude Bernard - Lyon I, 2006. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00124110v2⟩
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