On the Cremona group:some algebraic and dynamical properties
Sur le groupe de Cremona : aspects algébriques et
dynamiques
Résumé
In this thesis we prove that an automorphism of the group of polynomial automorphisms of the affine plane is the composition of an interior automorphism and an automorphism of the field of complex numbers; we generalize this result for the Cremona group. In the first case the proof is based on the amalgated structure of the group; in the second case the proof is based on a classification of maximal abelian subgroups. Then we are interested in representations of some lattices of Lie groups in the Cremona group. We obtain in particular the "rigidity" of SL(3,Z) and that there is no embedding from some lattices in the Cremona group. Finally we give a curious family of birational transformations:although they have some caracteristics of transformations without dynamic, numerical experiments reveal some chaotic orbits in the complement of two zones where the adherence of the orbits are a torus or a circle.
Dans cette thèse nous commençons par décrire le groupe des automorphismes extérieurs du groupe des automorphismes polynomiaux du plan affine : il s'identifie au groupe des automorphismes du corps des complexes. Nous étendons ce résultat au groupe de Cremona ; les techniques utilisées sont différentes, le premier groupe ayant une structure de produit amalgamé ce qui n'est pas connu pour le second. Ensuite nous nous intéressons aux représentations de certains réseaux dans le groupe de Cremona ; nous obtenons un théorème de rigidité pour SL(3,Z) et des obstructions à ce que certains réseaux se plongent dans le groupe de Cremona. Enfin nous exhibons une famille de transformations birationnelles curieuses : bien qu'elles présentent toutes les caractéristiques des transformations réputées sans dynamique les expériences numériques révèlent des orbites chaotiques situées dans le complément de deux zones où les adhérences des orbites sont des tores ou des cercles.