Hodge realization of the polylogarithm of an abelian scheme and degeneration of Eisenstein classes of Hilbert-Blumenthal modular families.
Réalisation de Hodge du polylogarithme d'un schéma abélien et dégénérescence des classes d'Eisenstein des familles modulaires de Hilbert-Blumenthal.
Résumé
The Hodge realization of the polylogarithm of a complex abelian scheme of dimension g is a (2g-1)-extension of Hodge modules. When the abelian scheme is principally polarized, we describe the underlying topological extension by using currents of Green type introduced by Levin. Then, we apply this result to the Hilbert-Blumenthal modular families to show that some of these Eisenstein classes (built from the polylogarithm and a torsion section) degenerate, at infinity, in a special value of a L-function of the underlying totally real number field. This has two consequences: a partial version of the Klingen-Siegel theorem and a non vanishing
result for some of these Eisenstein classes. So, we prove that for any integer g greater than 2, there exists an abelian scheme of dimension g such that some of its Eisenstein classes are non zero.
result for some of these Eisenstein classes. So, we prove that for any integer g greater than 2, there exists an abelian scheme of dimension g such that some of its Eisenstein classes are non zero.
La réalisation de Hodge du polylogarithme d'un schéma abélien complexe de dimension g est une (2g-1)-extension de modules de Hodge. Lorsque le schéma abélien est principalement polarisé, on en donne une description au niveau topologique. Pour cela, on utilise des courants de type "courants de Green" introduits par Levin. On applique alors ce résultat aux familles modulaires de Hilbert-Blumenthal pour montrer que certaines classes d'Eisenstein (construites à partir du polylogarithme et d'une section de torsion) dégénèrent, en l'infini, en une valeur spéciale de fonction L du corps de nombres totalement réel sous-jacent. On en déduit deux autres résultats : une version partielle du théorème de Klingen-Siegel et un résultat de non nullité pour certaines de ces classes d'Eisenstein. Ainsi, on montre que pour tout entier g plus grand que 2, il existe un schéma abélien complexe de dimension g tel que certaines de ses classes d'Eisenstein soient non nulles.
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