Piecewise diffusion Markov processes: analytical and numerical tools
Processus de Markov diffusifs par morceaux: outils analytiques et numériques
Résumé
This thesis studies some Markovian models allowing uncertainties to be taken into account in systems having a "hybrid" dynamics. Possible sources of uncertainty are noisy inputs, poorly known dynamics or random events for instance. Such models, sometimes known as Stochastic Hybrid Systems (SHS), are used in the fields of automatic control and operation research, among others.
In the first part of the thesis, we introduce the concept of a piecewise diffusion process, which provides a theoretical framework unifying the various classes of "hybrid" models known in the literature. Various aspects of these models are then considered, including their mathematical construction (using a revival theorem for Markov processes), the study of their extended generator and Zeno's phenomenon.
The second part of the thesis focuses on the "progagation of uncertainty", i.e. on the evolution of the marginal law of the state. The well-known Fokker-Planck-Kolmogorov (FPK) equation is generalized for various classes of piecewise diffusiion processes, thanks to concepts like the average jump intensity and the probability current. These results are illustrated by mean of two multidimensional examples, for which a numerical resolution of the generalized FPK equation was carried out thanks to a finite volumes discretization. The comparison with Monte-Carlo methods is also discussed.
In the first part of the thesis, we introduce the concept of a piecewise diffusion process, which provides a theoretical framework unifying the various classes of "hybrid" models known in the literature. Various aspects of these models are then considered, including their mathematical construction (using a revival theorem for Markov processes), the study of their extended generator and Zeno's phenomenon.
The second part of the thesis focuses on the "progagation of uncertainty", i.e. on the evolution of the marginal law of the state. The well-known Fokker-Planck-Kolmogorov (FPK) equation is generalized for various classes of piecewise diffusiion processes, thanks to concepts like the average jump intensity and the probability current. These results are illustrated by mean of two multidimensional examples, for which a numerical resolution of the generalized FPK equation was carried out thanks to a finite volumes discretization. The comparison with Monte-Carlo methods is also discussed.
Ce travail de thèse a pour objet l'étude de modèles markoviens qui résultent de la prise en compte d'incertitudes dans des systèmes possédant une dynamique hybride : entrées bruitées, dynamique mal connue, ou évènements aléatoires par exemple. De tels modèles, parfois qualifiés de Systèmes Hybrides Stochastiques (SHS), sont utilisés principalement en automatique et en recherche opérationnelle.
Nous introduisons dans la première partie du mémoire la notion de processus diffusif par morceaux, qui fournit un cadre théorique général qui unifie les différentes classes de modèles "hybrides" connues dans la littérature. Différents aspects de ces modèles sont alors envisagés, depuis leur construction mathématique (traitée grâce au théorème de renaissance pour les processus de Markov) jusqu'à l'étude de leur générateur étendu, en passant par le phénomène de Zénon.
La deuxième partie du mémoire s'intéresse plus particulièrement à la question de la "propagation de l'incertitude", c'est-à-dire à la manière dont évolue la loi marginale de l'état au cours du temps. L'équation de Fokker-Planck-Kolmogorov (FPK) usuelle est généralisée à diverses classes de processus diffusifs par morceaux, en particulier grâce aux notions d'intensité moyenne de sauts et de courant de probabilité. Ces résultats sont illustrés par deux exemples de modèles multidimensionnels, pour lesquels une résolution numérique de l'équation de FPK généralisée a été effectuée grâce à une discrétisation en volumes finis. La comparaison avec des méthodes de type Monte-Carlo est également discutée à partir de ces deux exemples.
Nous introduisons dans la première partie du mémoire la notion de processus diffusif par morceaux, qui fournit un cadre théorique général qui unifie les différentes classes de modèles "hybrides" connues dans la littérature. Différents aspects de ces modèles sont alors envisagés, depuis leur construction mathématique (traitée grâce au théorème de renaissance pour les processus de Markov) jusqu'à l'étude de leur générateur étendu, en passant par le phénomène de Zénon.
La deuxième partie du mémoire s'intéresse plus particulièrement à la question de la "propagation de l'incertitude", c'est-à-dire à la manière dont évolue la loi marginale de l'état au cours du temps. L'équation de Fokker-Planck-Kolmogorov (FPK) usuelle est généralisée à diverses classes de processus diffusifs par morceaux, en particulier grâce aux notions d'intensité moyenne de sauts et de courant de probabilité. Ces résultats sont illustrés par deux exemples de modèles multidimensionnels, pour lesquels une résolution numérique de l'équation de FPK généralisée a été effectuée grâce à une discrétisation en volumes finis. La comparaison avec des méthodes de type Monte-Carlo est également discutée à partir de ces deux exemples.
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