Contributions to effective geometric computing with low-degree curved objects
Contributions au calcul géométrique effectif avec des objets courbes de faible degré
Résumé
The physical world in which we live is essentially geometric. Geometric computing is a central building block in many fields, such as computer-aided design, computer graphics, robotics, computer vision and many others. For over three decades, computational geometry has been dedicated to supplying a solid foundation for the study of geometric algorithms which are relevant to all these applications. It has historically and traditionally focussed on the treatment of linear objects. For many applications, it is necessary to manipulate more general objects such as complex curves and surfaces. There are numerous issues involved in extending the repertoire of computational geometry to curved objects, namely: a complete rework of even its most basic data structures and algorithms; the massive intrusion of algebraic issues; the explosion of the number of degenerate cases...
This habilitation thesis contributes to the unfolding of an effective geometric computing dedicated to low-degree curved objects. It summarizes my main contributions on the subject over recent years. Let us mention in particular: an exact, optimal and efficient algorithm for computing a parameterization of the intersection of two quadrics with integer coefficients; the characterization of the relative position of two projective conics with low-degree geometric predicates, uncovered using algebraic invariant theory; the characterization of the degeneracies in the problem of real common tangents to four spheres; the convexity of the cone of directions of lines piercing three disjoint balls, and the important consequences of this result in geometric transversal theory. The manuscript concludes with an overview of many research directions to extend the results obtained thus far.
This habilitation thesis contributes to the unfolding of an effective geometric computing dedicated to low-degree curved objects. It summarizes my main contributions on the subject over recent years. Let us mention in particular: an exact, optimal and efficient algorithm for computing a parameterization of the intersection of two quadrics with integer coefficients; the characterization of the relative position of two projective conics with low-degree geometric predicates, uncovered using algebraic invariant theory; the characterization of the degeneracies in the problem of real common tangents to four spheres; the convexity of the cone of directions of lines piercing three disjoint balls, and the important consequences of this result in geometric transversal theory. The manuscript concludes with an overview of many research directions to extend the results obtained thus far.
Le monde physique dans lequel nous vivons est essentiellement géométrique. Le calcul géométrique est une brique centrale de nombreux domaines, comme la conception assistée par ordinateur, le graphisme, la robotique, la vision artificielle et bien d'autres. Depuis plus de trois décennies, la géométrie algorithmique est la discipline dédiée à l'établissement de bases solides pour l'étude des algorithmes géométriques qui relèvent de ces applications. Elle s'est historiquement et traditionnellement concentrée sur le traitement d'objets linéaires. Pour de nombreuses applications, il est nécessaire de manipuler des objets généraux comme des courbes et des surfaces complexes. L'extension du répertoire de la géométrie algorithmique aux objets courbes pose de nombreuses difficultés: refonte des structures de données et algorithmes fondamentaux; irruption massive de questions algébriques; explosion du nombre de cas dégénérés...
Cette thèse d'habilitation contribue à l'établissement d'un calcul géométrique effectif pour les objets courbes de faible degré. Elle reprend mes principales contributions sur le sujet ces dernières années. Mentionnons notamment: un algorithme exact, optimal et efficace pour le calcul du paramétrage de l'intersection de deux quadriques à coefficients entiers; la caractérisation des positions relatives de deux coniques projectives à l'aide de prédicats géométriques de faible degré, mis au jour grâce à la théorie des invariants algébriques; la caractérisation des dégénérescences du problème de tangentes réelles communes à quatre sphères; la convexité du cône des directions de droites perçant trois boules disjointes, et les conséquences importantes de ce résultat en théorie de transversales géométriques. Le manuscrit se conclue par un panel de directions de recherche poursuivant et étendant les résultats obtenus à ce jour.
Cette thèse d'habilitation contribue à l'établissement d'un calcul géométrique effectif pour les objets courbes de faible degré. Elle reprend mes principales contributions sur le sujet ces dernières années. Mentionnons notamment: un algorithme exact, optimal et efficace pour le calcul du paramétrage de l'intersection de deux quadriques à coefficients entiers; la caractérisation des positions relatives de deux coniques projectives à l'aide de prédicats géométriques de faible degré, mis au jour grâce à la théorie des invariants algébriques; la caractérisation des dégénérescences du problème de tangentes réelles communes à quatre sphères; la convexité du cône des directions de droites perçant trois boules disjointes, et les conséquences importantes de ce résultat en théorie de transversales géométriques. Le manuscrit se conclue par un panel de directions de recherche poursuivant et étendant les résultats obtenus à ce jour.
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