Un résultat d'existence pour les ensembles minimaux par optimisation sur des grilles polyédrales - TEL - Thèses en ligne Access content directly
Theses Year : 2008

A result about existence for minimal sets using polyhedral optimization

Un résultat d'existence pour les ensembles minimaux par optimisation sur des grilles polyédrales

Vincent Feuvrier
  • Function : Author
  • PersonId : 856813

Abstract

Let us recall that a subset of Rn is said to be minimal if its d-dimensional Hausdorff measure cannot be decreased by a deformation taken in a suitable class. One can give as an example the standard Plateau problem, which can be rewritten in terms of finding a minimal set under deformations that only move a relative compact subset of points of a given domain. In that case the boundary of the domain acts as a topological constrainst. An Almgren quasiminimal set can have its measure decreased by deformations, but only in a controlled manner in regard of the measure of the points being affected. For instance, graphs of lipschitz functions from Rd into Rn-d are quasiminimal, and it is known (see [A]) that quasiminimal sets are rectifiable. Furthermore (see [DS]), cores of quasiminimal sets — which are obtained by removing the points whose contribution to the measure of the set is null, operation denoted as making the set reduced — contain big pieces of lipschitz graphs and are uniformly rectifiable. Another interesting property shows up for Hausdorff limits of reduced quasiminimal sets. In fact, not only is the limit quasiminimal and reduced, but the Hausdorff measure is lower semicontinuous (see for instance [D1]), which is usually not true. This property makes limits of minimizing sequences of quasiminimal sets the ideal candidates for solving existence problems with topological constrainst stable under deformations. We introduce a theorem of existence, in the case of an open domain of Rn and in arbitrary dimension and codimension, using an automatic method to build a minimizing sequence of quasiminimal sets, by minimizing over the d-dimensional faces of polyhedral grids. Such grids must be carefully designed, since we want to approximate a given d-rectifiable set by following the directions of some of its approximate tangent planes to keep control on the measure increase introduced by the approximation, while keeping uniform bounds on the shape of the polyhedrons to avoid making them too flat. These uniform bounds are used when approximating other competitors using successive radial projections on decreasing dimensional polyhedrons of the grid till dimension d, to obtain quasiminimality constants depending only on d and n. The quasiminimal sequence we finally obtain converges on every compact subset of the domain to a minimal set — or almost-minimal when minimizing the functional defined as Jd h(E) = R hdHd where h is continuous on the domain, with values in [1,M]. If we can find lipschitz retractions onto the limit (we can obtain them for instance when n = 3 and d = 2 using Jean Taylor's regularity theorem in [T]) we can claim that the limit is still in the topological class we used. Our result could also be generalized in some cases of boundaryless manifolds, or on closed domains when there exists a lipschitz retraction of a neighborhood onto the boundary.
Rappelons qu'une partie de Rn est dite minimale si sa mesure de Hausdorff d-dimensionnelle ne peut être rendue plus petite par déformation dans une classe de compétiteurs adaptée. On peut citer comme exemple le problème de Plateau standard, pouvant se réécrire comme celui de trouver un ensemble minimal pour les déformations à support relativement compact dans un domaine, la frontière du domaine jouant alors le rôle d'une condition topologique de bord. Un ensemble quasiminimal au sens d'Almgren n'est pas forcément minimal puisque sa mesure peut décroître après déformation, mais seulement de manière contrôlée relativement à la mesure des points qui ont été déformés. Par exemple le graphe d'une application lipschitzienne de Rd dans Rn-d est quasiminimal et de façon générale, on sait (voir [A]) que les ensembles quasiminimaux sont rectifiables. Lorsqu'on considère la réduction E* d'un ensemble quasiminimal E, qui consiste à prendre le support de la mesure de Hausdorff k-dimensionnelle restreinte à E — en gros en enlevant les points dont la contribution à la mesure de E est nulle — on sait en outre (voir [DS]) que E* contient de grandes images lipschistziennes et est uniformément rectifiable. Une autre propriété remarquable concerne les limites de Hausdorff de suites d'ensembles quasiminimaux réduits. Dans ce contexte, non seulement la limite est quasiminimale et réduite, mais en outre la mesure de Hausdorff est semi-continue inférieurement (voir par exemple [D1]), ce qui n'est généralement pas le cas. Cette propriété fait des limites de suites minimisantes d'ensembles quasiminimaux les candidates idéales à la résolution de problèmes d'existence sous contrainte topologique stable par déformation. On propose ici, dans le cadre d'un problème sur un ouvert en dimension et codimension quelconques, un premier résultat d'existence utilisant une méthode systématique pour construire une suite minimisante d'ensembles quasiminimaux, par minimisation finie sur les sous-faces d-dimensionnelles de grilles polyédrales adaptées. La construction de telles grilles est assez délicate, puisqu'on s'impose à la fois de faire l'approximation polyédrale d'un ensemble rectifiable le long de certains plans tangents pour contrôler l'augmentation de mesure correspondante, tout en gardant un contrôle uniforme sur la régularité des polyèdres de façon à éviter qu'ils ne soient trop plats. Des bornes uniformes sur la forme des polyèdres sont en effet utilisées lors de la discrétisation polyédrale des compétiteurs du problème — mettant en jeu des projections radiales successives sur la frontière des sous-faces de dimension décroissante de n à d — et permettent d'obtenir automatiquement une constante de quasiminimalité ne dépendant que de n et d. La suite d'ensembles quasiminimaux obtenue converge alors en distance de Hausdorff sur tout compact du domaine vers un ensemble minimal — ou presque-minimal dans le cas d'une fonctionnelle Jd h(E) = R hdHd avec une fonction h continue à valeurs dans [1,M]. L'existence de rétractions lipschitziennes sur la limite obtenue (donnée par le théorème de Jean Taylor dans [T] pour le cas d = 2, n = 3) devrait alors permettre d'affirmer que la limite fait encore partie de la classe topologique initiale considérée. Le résultat d'existence pourrait encore se généraliser à certains problèmes sur des variétés sans bord, ou dans une certaine mesure à des domaines fermés pour lesquels on connait une rétraction lipschitzienne d'un voisinage sur le bord.
Fichier principal
Vignette du fichier
Thesis.pdf (1.9 Mo) Télécharger le fichier
Beamer.pdf (735.8 Ko) Télécharger le fichier
Demo/Demo.exe (784.2 Ko) Télécharger le fichier
Demo/array.h (6.95 Ko) Télécharger le fichier
Demo/common.h (5.03 Ko) Télécharger le fichier
Demo/cube.h (3.69 Ko) Télécharger le fichier
Demo/glut_import.h (326 B) Télécharger le fichier
Demo/main.cpp (10.08 Ko) Télécharger le fichier
Demo/matrix.h (2.06 Ko) Télécharger le fichier
Demo/scene.h (20.03 Ko) Télécharger le fichier
Demo/vect.h (3.29 Ko) Télécharger le fichier
Format : Other
Format : Other
Format : Other
Format : Other
Format : Other
Format : Other
Format : Other
Format : Other
Format : Other
Format : Other

Dates and versions

tel-00348735 , version 1 (21-12-2008)

Identifiers

  • HAL Id : tel-00348735 , version 1

Cite

Vincent Feuvrier. Un résultat d'existence pour les ensembles minimaux par optimisation sur des grilles polyédrales. Mathématiques [math]. Université Paris Sud - Paris XI, 2008. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00348735⟩
315 View
649 Download

Share

Gmail Facebook X LinkedIn More