Global analysis of nonlinear mechanical systems - Application to rotordynamics
Analyse globale de systèmes mécaniques non-linéaires - Application à la dynamique des rotors
Résumé
Birth of this PhD thesis subject was motivated by the growing will to introduce nonlinearities in models; this in done in order to have a better description of more and more complex structures behaviour. It leads to nonlinear dynamic systems which can exhibit solutions of complex nature (periodic but also quasiperiodic or even chaotic ones) and in which multiple solutions can coexist. Prediction of the structure behaviour being at stake in modelling, in particular in view of its dimensioning, one should be able to predict all of the solutions the system can hang to.
Nowadays few tools or methods are dedicated to this kind of analysis, named global analysis, which are able to find all the solutions of a nonlinear dynamic system. One usually tests an "important" number of different initial conditions using a local search algorithm. This can lead to effectively find all the solutions but does not ensure it and is very often a costly approach according to numerical resources. Our main goal was then to fill this lack of methods and to propose answers satisfying both the theoretical request and the practical constraints bound to numerical resources they need.
In order to reach this goal, we implemented four kind of methods: cell-mapping which consists in state-space and time discretization, test exclusion algorithms which try to exclude cells using a simple test, methods based on interval analysis which aim at reducing as well as excluding cells and finally methods requiring a polynomial approximation of the nonlinearities expressions which solve the system using homotopy. These different methods were applied to a simple Duffing oscillator in order to compare them. We then applied them to many examples chosen in the field of rotordynamics.
In parallel of this main goal continuation techniques were studied - techniques which allow to follow solution evolution while one of the system parameters varies; stability and bifurcation analysis methods were also implemented in case of constant and periodic solutions. This second part of our work allows to draw frequency response of nonlinear structures showing also limit cycles if instability occurs.
Nowadays few tools or methods are dedicated to this kind of analysis, named global analysis, which are able to find all the solutions of a nonlinear dynamic system. One usually tests an "important" number of different initial conditions using a local search algorithm. This can lead to effectively find all the solutions but does not ensure it and is very often a costly approach according to numerical resources. Our main goal was then to fill this lack of methods and to propose answers satisfying both the theoretical request and the practical constraints bound to numerical resources they need.
In order to reach this goal, we implemented four kind of methods: cell-mapping which consists in state-space and time discretization, test exclusion algorithms which try to exclude cells using a simple test, methods based on interval analysis which aim at reducing as well as excluding cells and finally methods requiring a polynomial approximation of the nonlinearities expressions which solve the system using homotopy. These different methods were applied to a simple Duffing oscillator in order to compare them. We then applied them to many examples chosen in the field of rotordynamics.
In parallel of this main goal continuation techniques were studied - techniques which allow to follow solution evolution while one of the system parameters varies; stability and bifurcation analysis methods were also implemented in case of constant and periodic solutions. This second part of our work allows to draw frequency response of nonlinear structures showing also limit cycles if instability occurs.
La naissance de ce sujet de thèse a été motivée par la volonté de plus en plus importante d'introduire des non-linéarités dans les modèles afin de mieux rendre compte du comportement de structures toujours plus complexes. Ceci aboutit à l'écriture de systèmes dynamiques non-linéaires pouvant présenter des solutions de nature complexe (solutions périodiques mais aussi quasi-périodique voire chaotique) et pouvant coexister. L'enjeu d'une modélisation étant la prédiction du comportement du système pour son dimensionnement notamment, il est nécessaire de pouvoir prédire toutes les solutions vers lesquelles pourra tendre la structure en fonctionnement.
Actuellement peu d'outils ou de méthodes sont dédiés à ce type d'analyse, dite globale, permettant d'exhiber toutes les solutions d'un système dynamique non-linéaire. Le parti est généralement pris de réaliser "un grand nombre de tirages" à l'aide d'algorithmes de recherche locale. Ceci peut amener à trouver effectivement toutes les solutions mais ne permet pas de garantir qu'on en possède la totalité et est généralement très coûteux numériquement. Notre principal objectif était donc de combler cette lacune en tentant de proposer des réponses satisfaisant à la fois au but théorique mais aussi à des contraintes pratiques liées aux ressources numériques requises pour les mettre en oeuvre.
Pour y parvenir, nous avons mis en oeuvre quatre types de méthodes : des méthodes de cell-mapping qui consiste en une discrétisation de l'espace d'états et du temps, des méthodes basées sur des tests d'exclusion appliqués à une cellule, des méthodes utilisant l'arithmétique des intervalles de façon à réduire et exclure des cellules et enfin, des méthodes requérant une approximation polynomiale des non-linéarités et une résolution du système par homotopie. Ces différentes méthodes ont été illustrées par le cas académique de l'oscillateur de Duffing, présentant une non-linéarité simple de façon à pouvoir les comparer, puis nous les avons appliquées à différents systèmes relatifs à la modélisation de la dynamique des machines tournantes.
Parallèlement à ce but principal, nous avons étudié des techniques de continuation - permettant de suivre l'évolution d'une solution lorsqu'un des paramètres du système varie - ainsi que les méthodes d'analyse de stabilité et de bifurcation dans le cas des solutions constantes et périodiques. Ce second volet permet par exemple d'établir les fonctions de réponse en fréquence de structures non-linéaires sur lesquelles on fait apparaître les cycles limites en cas d'instabilité.
Actuellement peu d'outils ou de méthodes sont dédiés à ce type d'analyse, dite globale, permettant d'exhiber toutes les solutions d'un système dynamique non-linéaire. Le parti est généralement pris de réaliser "un grand nombre de tirages" à l'aide d'algorithmes de recherche locale. Ceci peut amener à trouver effectivement toutes les solutions mais ne permet pas de garantir qu'on en possède la totalité et est généralement très coûteux numériquement. Notre principal objectif était donc de combler cette lacune en tentant de proposer des réponses satisfaisant à la fois au but théorique mais aussi à des contraintes pratiques liées aux ressources numériques requises pour les mettre en oeuvre.
Pour y parvenir, nous avons mis en oeuvre quatre types de méthodes : des méthodes de cell-mapping qui consiste en une discrétisation de l'espace d'états et du temps, des méthodes basées sur des tests d'exclusion appliqués à une cellule, des méthodes utilisant l'arithmétique des intervalles de façon à réduire et exclure des cellules et enfin, des méthodes requérant une approximation polynomiale des non-linéarités et une résolution du système par homotopie. Ces différentes méthodes ont été illustrées par le cas académique de l'oscillateur de Duffing, présentant une non-linéarité simple de façon à pouvoir les comparer, puis nous les avons appliquées à différents systèmes relatifs à la modélisation de la dynamique des machines tournantes.
Parallèlement à ce but principal, nous avons étudié des techniques de continuation - permettant de suivre l'évolution d'une solution lorsqu'un des paramètres du système varie - ainsi que les méthodes d'analyse de stabilité et de bifurcation dans le cas des solutions constantes et périodiques. Ce second volet permet par exemple d'établir les fonctions de réponse en fréquence de structures non-linéaires sur lesquelles on fait apparaître les cycles limites en cas d'instabilité.