Stability of shock profiles in systems of conservation laws
Stabilité des profils de chocs dans les systèmes de lois de conservation
Résumé
We are interested here in the theoretical study of the stability of shock profiles for several approximations of hyperbolic monodimensional systems of conservation laws. We consider in the first part the continuous profiles for the semi-linear approximation and for equations with diffusive and dispersive effects. We obtain necessary conditions of spectral stability using Evans function techniques and more precisely the Gap Lemma that was proved by Gardner and Zumbrun. For the semi-linear relaxation, we illustrate the necessity of the condition for a Lax 2-shock of a system of two conservation laws by computing an unstable shock profile, that we simulate numerically through a splitting scheme. We also show that, when the relaxation speed tends to infinity, the limit of the Evans function that is associated to the semi-linear relaxation approximation is the Evans function associated to a scalar viscous approximation. The second part is devoted to discrete stationary shock profiles. We obtain a necessary condition of spectral stability for the Lax-Wendroff scheme by adapting the techniques we used in the continuous case. At last, we study the Green's function associated with the modified Lax-Friedrichs scheme and we get estimates that are similar to the ones Zumbrun and Howard obtained for the viscous approximation.
On s'intéresse dans cette thèse à l'étude théorique de la stabilité des profils de chocs pour différentes approximations de systèmes de lois de conservation hyperboliques mono-dimensionnels. On considère dans la première partie des profils continus pour la relaxation semi-linéaire et pour des équations avec effets diffusifs et dispersifs. On obtient des conditions nécessaires de stabilité spectrale à l'aide de la théorie de la fonction d'Evans et plus précisément du lemme de l'écart dû à R. Gardner et K. Zumbrun. Pour la relaxation semi-linéaire, on fournit une illustration de la nécessité de la condition obtenue pour un 2-choc de Lax dans un système à deux lois de conservation en exhibant un profil de choc instable, simulé numériquement par un schéma de pas fractionnaires. On montre également que la fonction d'Evans associée à la relaxation semi-linéaire tend vers la fonction d'Evans associée à une viscosité scalaire quand la vitesse de relaxation tend vers l'infini. La deuxième partie est consacrée aux profils de chocs stationnaires discrets. On montre une condition de stabilité spectrale pour le schéma de Lax-Wendroff en adaptant les théories utilisées dans le cadre continu. Enfin, on étudie la fonction de Green discrète associée au schéma de Lax-Friedrichs modifié et on obtient des estimations à la manière de celles obtenues par K. Zumbrun et P. Howard pour l'approximation par viscosité.
Loading...