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Theses Year : 2009

Conservation laws and generalized isometric embeddings

Lois de conservation et plongements isométriques généralisés

(1)
1
Nabil Kahouadji
  • Function : Author
  • PersonId : 848501

Abstract

This thesis pertains to the field of differential geometry. Its main objective is to study the generalized isometric embedding problem of vector bundles, whose solutions lead, among other things, to show the existence of the analogous of conservation laws when there are no symmetries for partial differential equations. The methods used to answer and solve this problem are geometric: the problem is translated and expressed in terms of an exterior differential system, and the existence (or not) of integral manifolds leads not only to show the existence of a generalized isometric embedding but also to determine the dimension of the target space. Using then the Cartan-Kähler theory, the generalized isometric embedding problem is solved in the conservation law case, i.e., when the covariantly closed vector valued differential form is of a degree one less than the dimension of the manifold. A corollary of this resulst is the existence of conservation laws for energy-mementum tensors. Positive answers are also given for the embedding of differential 1-forms and for an anti-self-dual covariantly closed differential 2-form on a 4-dimensional manifold with values in a rank 3 vector bundle endowed with a metric and an connection.
Ce travail de thèse se situe dans le domaine de la géométrie différentielle et a pour objectif l'étude du problème du plongement isométrique généralisé de fibrés vectoriels, dont la résolution permet, entre autres, de montrer l'existence d'analogues des lois de conservation en l'absence de symétries pour des équations aux dérivées partielles. Pour résoudre ce problème, nous le traduisons en termes d'un système différentiel extérieur, et l'existence ou non de variétés intégrales permet non seulement d'affirmer l'existence du plongement isométrique généralisé mais aussi de préciser la dimension de l'espace d'arrivé. En utilisant donc la théorie de Cartan-Kähler, nous résolvons le problème du plongement isométrique généralisé dans le cas des lois de conservations, i.e., lorsque la forme différentielle fermée covariante à valeurs dans le fibré est de degré un de moins que la dimension de la variété. Un corollaire de ce résultat est l'existence de lois de conservations pour le tenseur énergie-impulsion. Nous donnons aussi une réponse positive pour le plongement de 1-formes différentielles et pour le cas d'une 2-forme différentielle anti-auto-duale sur une variété de dimension 4 à valeurs dans un fibré de rang 3 muni d'une métrique et d'une connexion.
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Dates and versions

tel-00427033 , version 1 (28-10-2009)

Identifiers

  • HAL Id : tel-00427033 , version 1

Cite

Nabil Kahouadji. Conservation laws and generalized isometric embeddings. Mathematics [math]. Université Paris-Diderot - Paris VII, 2009. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00427033⟩
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