ROTATIONS DISCRETES ET AUTOMATES CELLULAIRES
DISCRETE ROTATIONS AND CELLULAR AUTOMATA
Résumé
In a discrete space, such as the set of integer-coordinate points, the modelization of isotropy may lead to noticeable theoretical difficulties. At this time, we do not know any gerometric theory on $\ZZ^n$ that would be suitable to describe the isotropy the same way it is perceived by Euclidean geometry. With respect to this problematic, our aim is to describe some algorithms that would give to the discrete rotations some properties that would be similar to the properties of the Euclidean rotation. Also, we expect these algorithm to work using integer arithmetic only. We start by proving the non-existence of transitive discrete rotation on $\ZZ^2$. This motivates the introduction of an encoding of the discrete rotation. We can establish the existence of connections in-between these configurations, bidimensional dynamical systems, and cellular automatas. A local analysis of the discrete rotations is then initiated. This research comprises the intersection of discrete geometry and symbolic dynamic. The pertinence of the encoding the rotations is justified by the existence of planar tranduscer that are able to compute one configuration according the other one by performing the encoded rotation. In order to describe the configurations in the framework of dynamical system we extend usual symbolical dynamic contepts to dimension 2. For the discretized rotations, the associated symbolic dynamic is conjugated with a set of two orthogonal translations on a bidimensional torus. Out analysis will hilight the fact that the configurations can be computed as a superposition of low-complexity configurations. Our work is also evocating some planar generalizations of sturmian words that have been studied, among others, by Valerie Berthé and Laurent Vuillon. Similar results exist for the 3-shear rotations. The analysis of discrete rotations by the symbolic dynamic system theory then leads to various results : quasiperiodicity of all configurations, possibility to compute the frequency associated to each symbol, caracterisation of bijective discretized rotation... This last result is also a the converse of a Éric Andrès et Marie-Andrée Jacob Theorem on discrete rotations. We have also studied the the discontinuities angles. We specify the angles for which they occur, as well as the nature of the transformation that happens. Combinating the remarks that are relative to the way discrete rotations proceed, we have described two algorithms : the first algorithm computes a rotation without doing any floating point arithmetic, nor computing any sine nor cosine; the order of complexity of this algorithm is optimal. The second algorithm is an implementation of the $3$-shear rotation on cellular automatas. Other possibilities to construct algorithms for rotations are enclosed within our dissertation. Moreover, we also have some interest in the quest for planar substitutions that are able to generate the rotation configurations. For quadratic angles, we have shown the rotations configurations are actually a weaving of interlaced autosimilar configurations. Also, we have introduced the scheme of an approach based on Rauzy graphs to infer planar subsitutions. By combination of these two approaches, we have hilighted the essential elements that are required to prove the autosimilarity of the configuration $C_{\pi/4}$. The potential applications of this research deal with the implementation of rotation algorithm within graphic processors. It also contributes to the study of the algorithmic methods for the physical modelization of isotropic phenemena in discrete spaces.
Dans un espace discret, comme l'ensemble des points à coordonnées entières, la modélisation de l'isotropie pose des difficultés théoriques notables. À ce jour, aucune théorie géométrique sur $\ZZ^n$ n'est apte à rendre compte de l'isotropie telle qu'elle est décrite par la géométrie euclidienne. Dans l'optique de contribuer à cette problématique, nous nous intéressons à la conception d'algorithmes capables de donner aux rotations discrètes des propriétés proches de celles de la rotation euclidienne. Ces algorithmes doivent de plus fonctionner à base d'arithmétique entière. Après avoir montré la non-existence de rotation discrète transitive sur $\ZZ^n$, nous introduisons un codage de rotations discrètes que nous relions à la fois à la dynamique symbolique et aux automates cellulaires. Il s'agit alors de mener une étude locale des rotations discrètes. Cette étude se situe au carrefour entre géométrie discrète et systèmes dynamiques symboliques. La pertinence des configurations obtenues est justifiée par l'existence de transducteurs planaires capables d'effectuer des rotations à partir des configurations. Ensuite, afin de réinterpréter ces configurations dans le cadre de la théorie des systèmes dynamiques, nous étendons des notions classiques de cette théorie à la dimension 2. Pour la rotation discrétisée, la dynamique symbolique associée est conjuguée avec un jeu de deux translations orthogonales sur un tore bidimensionnel. Après analyse, nous constatons que les configurations obtenues sont des superpositions de configurations de faible complexité. Cela évoque alors les généralisations planaires des mots sturmiens étudiées entre autres par Valérie Berthé et Laurent Vuillon. Des résultats analogues sont aussi obtenus pour les rotations $3$-transvections. L'analyse les rotations discrètes par le biais de systèmes dynamiques a permis de nombreux résultats : mise en évidence de la quasipériodicité des configurations, calcul de la fréquence des symboles, caractérisation des rotations discrétisées bijectives, ce qui est aussi la réciproque du théorème d'Éric Andrès et Marie-Andrée Jacob. Nous avons aussi étudié les discontinuités du processus de rotation. Ces discontinuités ont lieu pour des angles issus d'un sous-ensemble des angles quadratiques (i.e. les angles charnières). En combinant ces remarques, nous aboutissons à deux algorithmes. Le premier algorithme réalise des rotations sans faire aucun calcul à virgule flottante et sans calculer aucun sinus ni aucun cosinus. Il fonctionne de manière incrémentale et en ordre de complexité optimal. Le second algorithme est une implémentation de la rotation $3$-transvections sur automates cellulaires. D'autres pistes pour la conception d'algorithmes sont mentionnées dans la thèse. En outre, nous nous intéressons aussi aux méthodes substitutives qui engendrent les configurations de rotations. Pour les angles quadratiques, nous montrons que les configurations de rotations sont des entrelacements de configurations autosimilaires; et nous présentons le schéma d'une approche basée sur les graphes de Rauzy pour l'inférence de substitutions planaires. En combinant ces deux approches, nous mettons en avant les éléments essentiels de la démonstration de l'autosimilarité de $C_{\pi/4}$. Les applications potentielles de cette thèse concernent à terme l'implémentation d'algorithmes de rotations pour processeurs graphiques. Elle contribue aussi à l'étude des méthodes algorithmiques pour la modélisation physique en milieu discret de phénomènes isotropes.
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