Stable distributions and point processes : relations and estimation of parameters
Lois stables et processus ponctuels :liens et estimation des paramètres
Résumé
The objective of this thesis is to extend an estimation method of parameters of a stable distribution in Rd to the regularly varying tail distributions in an arbitrary cone. The sampling method of regrouping is modified to optimize the rate of convergence of estimators. A new estimator of total mass of the spectral measure is proposed. Some results about order statistics of regularly varying tail laws in a cone and the strong law of large numbers on the triangular schema are established. The consistency and the asymptotic normality of estimators are proved. The performance of proposed estimators is studied by simulation. We compare these estimators with some known estimators. The performance tables are provided. The kernel density estimation is used to estimate the density of an absolutely continuous spectral measure of a regularly varying tail law. We prove the consistency of the estimator in our particular case. To increase the number of points used in the sample, an estimation method using the random permutations of sample is proposed. The property of regular variation can be preserved by several operations and transformations. We consider three kinds of transformations. The sufficient conditions for this preservation are proposed and some counter-examples are presented. The models of stable distributions and heavy tailed distributions are widely used in several application areas. We consider two sets of real data : the prices of 30 stocks of the DJIA index and the planetary perturbations of comets of the Oort cloud. By applying the estimation method presented previously we obtain some statistical descriptions of these data.
L'objectif de cette thèse est d'étendre une méthode d'estimation des paramètres d'une loi stable dans Rd aux lois à queue régulière dans un cône arbitraire. La méthode d'échantillonnage par paquets est modifiée afin d'optimiser la vitesse de convergence des estimateurs. Un nouvel estimateur de la masse totale de mesure spectrale est proposé. Des résultats sur les statistiques d'ordre des lois à queue régulière dans un cône et la loi des grands nombres pour le schéma triangulaire sont établis. La consistance et la normalité asymptotique des estimateurs sont démontrées. La performance des estimateurs est étudiée par simulation. On compare ces estimateurs avec quelques estimateurs connus. Les tableaux de performance sont fournis. La méthode de noyau est utilisée pour estimer la densité d'une mesure spectrale absolument continue d'une loi à queue régulière. On prouve la consistance de l'estimateur dans notre cas particulier. Pour augmenter le nombre de points utilisés dans l'échantillon, on propose une méthode d'estimation utilisant les permutations aléatoires de l'échantillon. La variation régulière a la propriété d'être préservée par plusieurs opérations et transformations. On considère trois sortes de transformations. Des conditions suffisantes pour cette préservation sont proposées et quelques contre-exemples sont présentés. Les modèles de lois stables et de lois à queue lourde sont très utilisés dans plusieurs domaines d'application. On considère deux jeux de données réelles : les cours des 30 valeurs de l'indice DJIA et les perturbations planétaires des comètes du nuage de Oort. En appliquant la méthode d'estimation présentée on obtient des descriptions statistiques de ces données.