Generation and drawing of decomposable structures
Génération et tracé de structures décomposables
Résumé
The main goal of the thesis is to conceive algorithms and tools to assist people who study a special kind of combinatorial structures, namely decomposable structures. The two major questions we try to solve are: - How to generate, randomly or by some systematic procedure, a decomposable structure. - How to draw decomposable structures. Decomposable structures are combinatorial structures that are recursively described using a small set of constructors. The idea consists in considering a structure as a process of construction from simpler structures. The main interest of the decomposable structure theory is that we can describe an infinite number of different sets of structures, including permutations, various kind of trees or functional graphs, for which we can solve counting and random generation problems. Possible applications are the average case analysis of algorithms and the production of test inputs for the experimental validation of programs. We propose an algorithm for drawing decomposable structures based on the translation into special graphs, that we call composed graphs, in which both inclusion and adjacency relationships can exist. The principle is based on the translation of decomposable structures into composed graphs, i.e. graphs with both inclusion and adjacency relationships. The drawing of composed graph is achieved by using different classical graph drawing algorithm together. The number of algorithms that can be used on a same drawing is infinite. The only restriction is that the algorithms must be able to draw graphs with arbitrary node sizes. We present two graph drawing software realisations that we wrote in order to validate the algorithms presented in the thesis. They can be linked to combinatorial structure generation programs in order to form integrated systems. We also investigate their use for the visualisation of large data structures.
L'objet de cette thèse est la réalisation d'algorithmes et d'outils d'aide à l'étude des propriétés de structures combinatoires particulières, les structures décomposables. Nous nous intéressons pour cela à la génération aléatoire et systématique de structures décomposables, puis à leur représentation graphique automatique. Ce travail se situe à la frontière entre calcul mathématique et visualisation. Les structures décomposables sont les structures combinatoires qu'il est possible de former récursivement en utilisant des constructeurs aux propriétés particulières. Le point de vue est similaire à celui adopté dans la théorie des espèces de structures, où l'on privilégie la description d'ensembles de structures à partir de transformations d'ensembles existants. Il est alors possible, grâce à des spécifications, de décrire une infinité d'ensembles de structures combinatoires parmi lesquels les permutations, les graphes fonctionnels, les arbres enracinés ou encore les hiérarchies. L'intérêt de cette démarche tient au fait que l'on sait résoudre des problèmes de dénombrement et de comportement asymptotique sur ces ensembles et générer aléatoirement de façon uniforme des structures de ces ensembles. Les applications concernent le calcul de complexité en moyenne d'algorithmes, et la génération de jeux de tests pour la validation expérimentale ou l'étalonnage d'algorithmes. Nous présentons dans cette thèse deux types de résultats. Les premiers concernent la génération de structures décomposables, les seconds leur représentation graphique. Nous présentons une implantation d'un algorithme classique de génération aléatoire de structures décomposables, et nous proposons des techniques permettant de générer tous les éléments d'un ensemble à partir de sa spécification. Nous proposons également un algorithme de tracé de graphes particuliers, pour lesquels il existe à la fois des relations d'adjacence et d'inclusion entre les noeuds. Ces graphes, que nous appelons les graphes composés, sont en effet bien adaptés à la représentation de la nature générique des structures décomposables. Ce travail est concrétisé par la réalisation de deux logiciels de tracé de structures combinatoires. Leur utilisation n'est cependant pas limitée à ce seule domaine et les apsects liés à leur application à la visualisation de graphes en général sont abordés.
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