Analyse harmonique associée à des systèmes de racines et aux opérateurs de Dunkl rationnels - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2010

Harmonic analysis associated with root systems and Dunkl rational operators

Analyse harmonique associée à des systèmes de racines et aux opérateurs de Dunkl rationnels

Luc Deleaval
  • Fonction : Auteur
  • PersonId : 854960

Résumé

In this thesis, we focus on harmonic analysis and special functions associated with rational Dunkl operators which are deformations by reflections of directional derivatives. They provide an essential tool to extend, in the setting of root systems and associated reflection groups, Fourier analysis on Euclidean spaces and analysis on Riemannian symmetric spaces of Euclidean type. After a detailed survey on Dunkl theory, we study the maximal operator defined in this setting. We begin with some improvements on the behavior of the constants of the maximal theorem proved by Thangavelu and Xu for a general reflection group. We then extend their theorem to the vector-valued case by establishing Fefferman-Stein inequalities in the case Z_2^d. In order to prove this theorem, we construct an operator of Hardy-Littlewood type on which, contrary to the Dunkl maximal operator, we can apply the methods of real analysis. In particular, we give a sharp estimate of the generalised translation of the characteristic function of a ball. Afterwards, our study is devoted to some results on exponential integrability which completes the Fefferman-Stein inequalities, and to a vector-valued maximal theorem for Bessel-Kingman hypergroups. Finally, we develop the Dunkl analysis in the case of a positive subsystem of orthogonal roots. We give an explicit formula of the Dunkl kernel and a product formula which implies that the Dunkl translation is a bounded operator. We also focus on the particular case of a root system of A_1 type in odrer to give an equality which links normalized Bessel functions and Gegenbauer polynomials.
Dans cette thèse, on s'intéresse à l'analyse harmonique et aux fonctions spéciales associées aux opérateurs de Dunkl rationnels qui sont des déformations des dérivées directionnelles par des réflexions. Ils fournissent un outil décisif pour étendre, dans le cadre des systèmes de racines et des groupes de réflexions associés, l'analyse de Fourier euclidienne et l'analyse sur les espaces symétriques riemanniens plats. Après avoir donné un panorama détaillé de la théorie de Dunkl, on étudie l'opérateur maximal défini dans ce contexte. On commence par apporter des améliorations sur le comportement des constantes du théorème maximal de Thangavelu et Xu pour un groupe de réflexions quelconque. On étend ensuite dans un cadre vectoriel leur théorème en établissant dans le cas Z_2^d des inégalités de Fefferman-Stein. Pour y parvenir et puisque les techniques d'analyse réelle ne se prêtent pas à cet opérateur maximal, on construit un opérateur de type Hardy-Littlewood plus commode à étudier. A cet effet, on donne une estimation fine de la translation généralisée de l'indicatrice d'une boule. Notre étude est ensuite consacrée à des résultats d'intégrabilité exponentielle qui complètent les inégalités de Fefferman-Stein, et à un théorème maximal vectoriel pour des hypergroupes de Bessel-Kingman. Enfin, on développe l'analyse de Dunkl dans le cas d'un sous-système positif de racines orthogonales. On y établit une formule explicite du noyau de Dunkl et une formule produit qui implique le caractère borné de la translation de Dunkl. Le cas particulier d'un système de type A_1 est étudié afin d'établir une égalité liant les fonctions de Bessel normalisées et les polynômes de Gegenbauer.
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Dates et versions

tel-00558751 , version 1 (24-01-2011)

Identifiants

  • HAL Id : tel-00558751 , version 1

Citer

Luc Deleaval. Analyse harmonique associée à des systèmes de racines et aux opérateurs de Dunkl rationnels. Mathématiques [math]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2010. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00558751⟩
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