Polynomial factorization and curve decomposition algorithms
Algorithmes de Factorisation de Polynomes et de Décomposition de Courbes
Résumé
Affine algebraic curves are a tool applied in different fields, for instance CAGD. They are defined using polynomials, but they often have several different irreducible components. In this thesis we develop efficient algorithms to decompose a curve defined by rational polynomials. In the first part we present an absolute factorization algorithm for bivariate polynomials (this problem is equivalent to the decomposition of a curve in the plane). We start from the existing algorithm TKTD and we improve the definition of the algebraic extension needed for the factorization, using modular techniques and the LLL algorithm to identify an algebraic number form its p-adic approximation. In the second part we pass to the problem of decomposing a curve in the three-dimensional space: the corresponding technique of the factorization for the case of the plan is the primary decomposition of an ideal for the three-dimensional case. At first, we show some bounds on the degrees of the surfaces separating the different components, using some classical results of algebraic geometry, as the "Lifting problem" or the Castelnuovo-Mumford regularity. After this, we apply consider a classical algorithm of decomposition, which is not efficient for computations, and we apply on it the modular techniques. We obtain a modular algorithm giving the Hilbert function for the reduced components of the curve. The two main algorithms were tested on several examples and compared with the executions times of other softwares.
Les courbes algébriques affines sont un outil qui est appliqué dans plusieurs domains, par example le CAGD. Elles sont définies par des polynômes, mais souvent elles ont plusieurs composantes irréductibles distinctes. Dans cette thèse on développe des algorithmes efficaces pour la décomposition d'une courbe definie par des polynômes rationelles. Dans la première partie on présente un algorithme de factorisation absolue pour polynômes en deux variables (problème equivalent à la décomposition de courbes dans le plan). On part de l'algorithme existant TKTD et on améliore la définition de l'extension de corps nécessaire à la factorisation, utilisant des techniques modulaires et l'algorithme LLL pour identifier un nombre algébrique de son approximation p-adique. Dans la deuxième partie on passe au problème de décomposer une courbe dans l'espace tridimensionel: l'équivalent de la factorisation pour le cas du plan est la décomposition primaire d'un idéal pour le cas des 3 dimensions. D'abord on montre des bornes sur les degrées des surfaces qui séparent les différentes composantes, utilisant des résultats classiques de géometrie algébrique, comme le "Lifting problem" ou la regularité de Castelnuovo-Mumford. Après, on considère un algorithme de décomposition classique, mais pas efficace du point de vue computationel, auquel on applique les techniques modulaires. On obtient un algorithme modulaire qui donne la fonction d'Hilbert des composantes réduites de la courbe. Les deux algorithmes principales ont été testés sur plusieurs examples et comparés avec le temps d'exécution d'autres logiciels.
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