Résultant déterminantiel et applications
Determinantal resultant and applications
Résumé
In the first part, we define algebraically the determinantal resultant of a morphism of fi nite free modules f which input matrix of polynomials homogeneous f_i,j. Using the Eagon-Northcott and Buchsbaum-Rim complexes associated with the morphism f we provide e ffective methods to calculate the determinantal resultant as its degree. In the case where the polynomial f_i,j are in two variables, we show that the determinantal resultant is given by the determinant of a matrix of coefficients f_i,j , which is a generalization of the Sylvester matrix of two polynomials. In the second part of the thesis, we study the Bezier curves and surfaces intersection problems avoiding the well-known unstable conversion between Bernstein basis and power basis. These problems have a special shape which is degenerate for the Macaulay resultant. We prove the existence of an anisotropic resultant for these degenerate systems and propose an algorithm to calculate it.
Dans cette thèse, nous définissons algébriquement le résultant déterminantiel d'un morphisme f de modules libres de type dont la matrice a en entrée des polynômes homogènes f_i,j. A l'aide des complexes d'Eagon-Northcott et de Buchsbaum-Rim associés au morphisme P nous proposons des méthodes effectives pour calculer ce résultant déterminantiel ainsi que son degré. Dans le cas où les polynômes f_i,j sont à deux variables, nous montrons que ce résultant déterminantiel est donné par le déterminant d'une matrice en les coefficients des f_i,j , qui est une généralisation de la matrice de Sylvester de deux polynômes. Dans la deuxième partie de la thèse, nous étudions des problèmes d'intersection de courbes et surfaces de Bézier en évitant la fameuse conversion instable entre la base de Bernstein et la base monomiale. Ces problèmes jouissent d'une structure particulière qui est dégénérée pour le résultant de Macaulay. Nous prouvons l'existence d'un résultant anisotrope adapté à ces systèmes dégénérés et proposons un algorithme pour le calculer.
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