A few contributions to the mathematical analysis of the Gross-Pitaevskii equation and the Bogoliubov-Dirac-Fock model
Quelques contributions à l'analyse mathématique de l'équation de Gross-Pitaevskii et du modèle de Bogoliubov-Dirac-Fock
Résumé
This dissertation is devoted to the mathematical analysis of the Gross-Pitaevskii equation on one hand, and of the Bogoliubov-Dirac-Fock model on the other hand. Concerning the Gross-Pitaevskii equation, the analysis begins by the variational construction of the minimizing travelling waves. This construction is completed by the proof of the orbital stability of the black soliton in dimension one, as well as the description of the transonic limit of the minimizing travelling waves towards the solitary waves for the Kadomtsev-Petviashvili equation in dimension two. The rigorous derivation of the long wave regime towards the Korteweg-de Vries equation in dimension one concludes the analysis. The description of the Bogoliubov-Dirac-Fock model focuses on the construction of the ground states for the reduced model. Their charge renormalization next provides an asymptotic expansion of the charge density of the polarized vacuum, which agrees with the perturbative expansions given by the quantum electrodynamics.
Ce mémoire présente plusieurs contributions quant à l'analyse mathématique de l'équation de Gross-Pitaevskii et du modèle de Bogoliubov-Dirac-Fock. Au sujet de l'équation de Gross-Pitaevskii, l'analyse commence par la construction variationnelle des ondes progressives minimisantes. La preuve de la stabilité orbitale du soliton noir en dimension un, et la description de la limite transsonique des ondes progressives minimisantes vers les états fondamentaux de l'équation de Kadomtsev-Petviashvili en dimension deux, viennent compléter cette construction. L'analyse s'achève par la dérivation rigoureuse du régime ondes longues vers l'équation de Korteweg-de Vries en dimension un. Quant au modèle de Bogoliubov-Dirac-Fock, il s'agit de construire les états fondamentaux du modèle réduit, puis de préciser le processus de renormalisation de leur charge, lequel autorise le calcul d'un développement asymptotique de la densité de charges du vide polarisé, qui est cohérent avec les développements perturbatifs de l'électrodynamique quantique.
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