Slowly oscillating perturbations of the periodic Schrödinger operator.
Perturbations à oscillations lentes de l'opérateur de Schrödinger périodique.
Résumé
We study the Schrödinger operator $H_{\alpha}=-\frac{\der^2}{\der x^2}+V(x)+W(x^{\alpha})$ in $L_2(\R_+)$, with a generic periodic potential $V$. We suppose that $W$ is periodic and $\alpha\in(0,1)$ so that the perturbation $W(x^{\alpha})$ is asymptotically slowly oscillating. We use two approaches for the asymptotic study of the solutions of the associated eigenvalue equation.\\ The first method is developed by Simon--Zhu and based on periodic approximations. We give an explicit formula for the integrated density of states for $H_{\alpha}$. Then we prove existence and give a formula for the Lyapounov exponent for almost all energies. We obtain a description of the exceptional set of energies containing the singular continuous spectrum of $H_{\alpha}$.\\ The second method is new and uses quasiperiodic approximations instead of periodic ones. We approach the resolvent of $H_{\alpha}$ by the resolvents of the quasiperiodic operators $H_{z,\eps}=-\frac{\der^2}{\der x^2}+V(x)+W(\eps x+z)$ for some parameters $z$ and $\eps$. In order to use the approximate resolvent method for $H_{\alpha}$, we also study the solutions of the eigenvalue equation for $H_{z,\eps}$ using Fedotov--Klopp's complex WKB method. We obtain the asymptotics of the solutions and of the monodromy matrices as $\eps$ goes to zero. Under the condition $\alpha>\frac{1}{2}$, we construct solutions of the eigenvalue equation associated to $H_{\alpha}$ having simple asymptotics in $x$ on large intervals. Then by studying the associated transfer matrices, we obtain a new, more precise than the previous one, description of the exceptional set of energies.\\
On étudie l'opérateur de Schrödinger Ha + V(x) + W(x dans L où V est un potentiel périodique générique. On suppose que w est périodique et a (O, 1) de sorte que la perturbation W(x soit à oscillations asymptotiquement lentes. On étudie l'asymptotique des solutions de l'équation propre associée par deux approches différentes. La première approche, qui est basée sur une méthode de Sirnon---Zhu, utilise des approximations périodiques. On obtient une formule explicite pour la densité d'états intégrée pour Ha. Puis, on prouve l'existence et on donne une formule pour l'exposant de Lyapounov pour presque toutes les énergies. Nous décrivons aussi l'ensemble exceptionnel des énergies, qui contient le spectre singulier continu de Ha.La seconde méthode est nouvelle : elle utilise des approximations quasi- périodiques plutôt que périodiques. On approxime la résolvante de Ha par les résolvantes des opérateurs quasi-périodiques Hz,e + V(x) + W(Ex + z) pour des paramètres z et E bien choisis. Afin de pou- voir appliquer la méthode de la résolvante approchée à Ha, on étudie des solutions de l'équation propre pour à l'aide de la méthode BKW complexe de Fedotov--Klopp. On obtient les asymptotiques des solutions et des matrices de monodroimie quand tend vers zéro. Sous la condition c > , on construit des solutions de l'équation propre pour Ha ayant une asymptotique simple en x sur de grands intervalles. Puis, par l'étude des matrices de transfert associées, on obtient une nouvelle description, plus précise que la précédente, de l'ensemble exceptionnel des énergies.