Lieu singulier des variétés duales : approche géométrique et applications aux variétés homogènes. - TEL - Thèses en ligne Access content directly
Theses Year : 2004

SIngular locus of dual varieties: geometric approach and applications to homogeneous varieties.

Lieu singulier des variétés duales : approche géométrique et applications aux variétés homogènes.

Abstract

We are indebted to Friedrich Knop an amazing theorem that establishes a link between simple Lie algebras of type ADE, and simple singularities of the same type. The result is the following: we consider the projectivization the orbit of highest weight vector for the adjoint action of a simple Lie group on its Lie algebra (this variety is called the adjoint variety). Then there exists a hyperplane section tangent to the orbit with a unique singular point of the same type as the type of the Lie algebra. This theorem is the starting point of this thesis. To get a better understand of this relationship, we study the geometry of duals of adjoint varieties. In the first chapter we prove a dual version of Knop's theorem. Our theorem provides the discriminant of a simple singularity from the dual of the adjoint variety. The hyperplane considered by Knop can be interpreted as a very singular point of the dual. In the second chapter we consider the singular locus of the dual of a smooth projective variety. We show that the existence of certain stratum of maximal dimension is equivalent to the existence of hyperplane section of the original variety admitting singular points of a given type. Then we insist on the importance of two stratas which have a geometrical meaning: the dual variety of the tangential variety and the dual of the secant variety. Finally, in the last chapter we apply those results to study the normality of the duals of homogeneous varieties.
On doit à Friedrich Knop un étonnant théorème qui établit un lien entre algèbres de Lie simples de type A-D-E, et singularités simples de même type. Le résultat est le suivant : on considère la projectivisation de l'orbite de plus haut poids pour l'action adjointe d'un groupe de Lie simple sur son algèbre de Lie (une telle variété est appelée variété adjointe). Il existe alors un hyperplan tangent à l'orbite ayant un unique point singulier du même type que celui de l'algèbre de Lie. Ce théorème est le point de départ de nos travaux. Afin de mieux comprendre ce lien, nous étudions la géométrie des variétés duales des variétés adjointes. Dans le premier chapitre nous prouvons une version duale du théorème de Knop. Notre théorème permet d'obtenir le discriminant d'une singularité simple à partir de la duale de la variété adjointe. L'hyperplan considéré par Knop s'interprète alors comme un point très singulier de la duale. Dans le deuxième chapitre nous considérons le lieu singulier de la duale pour une variétés projective lisse. Nous montrons que l'existence de certaines strates de dimensions maximales équivaut à l'existence de section hyperplane de la variété d'origine admettant des points singuliers d'un type donné. Nous insistons alors sur l'importance de deux strates qui ont un sens géométrique : la duale de la variété des tangentes et la duale de la variété des sécantes. Enfin dans un dernier chapitre nous appliquons ces résultats à l'étude de la normalité des duales des variétés homogènes.
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tel-00737441 , version 1 (01-10-2012)

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  • HAL Id : tel-00737441 , version 1

Cite

Holweck Frédéric. Lieu singulier des variétés duales : approche géométrique et applications aux variétés homogènes.. Géométrie algébrique [math.AG]. Université Paul Sabatier - Toulouse III, 2004. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00737441⟩
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