TEXSOL-LIKE RANDOMLY REINFORCED MATERIALS : STOCHASTIC VARIATIONAL MODELING BY HOMOGENIZATION
Matériaux aléatoirement renforcés de type Texsol : modélisation variationnelle par homogénéisation stochastique
Abstract
A mathematical model of a composite material randomly reinforced such as TexSol ( mixture of sand and wire) is proposed. For this study, a variational asymptotic analysis is performed in order to obtain a homogeneous deterministic structure taken into account the mechanical behavior of this material. The modeling strategy is to cut (in direction x3) a cube of TexSol into thin plates of thickness h(ε) depending on a very small parameter ε << 1. When h(ε) is small enough, we assume that each plate contains vertical fibers. Our 3D initial problem is decomposed into n 2D layer type models giving 2-dimensional formulation after passage to the limit. The resulting model is deterministic. Then, using this result on each plate, we obtain a discrete energy (according to x3), which is the sum of n 2-dimensional homogeneous and deterministic energies. We reconstruct a 3D structure by means of a variational integration respect to x3, i.e. taking a variational limit on n. This obtained energy limit, homogeneous and deterministic, is thus proposed as a TexSol model. Finally, the model is validated by a numerical study.
Notre but est de proposer un modèle mathématique d'un matériau composite aléatoirement renforcé de type TexSol (un mélange sable-fil). Pour cela nous effectuons une étude asymptotique variationnelle afin d'obtenir une structure homogène et déterministe rendant compte du comportement mécanique de ce matériau. La stratégie de modélisation consiste à découper (suivant une direction x3) un cube de TexSol en fines plaques d'épaisseur h(ε) dépendant d'un très petit paramètre ε << 1. Pour h(ε) assez petit, nous supposerons que dans chaque plaque les fibres sont verticales. Notre problème initial est alors décomposé en n modèles de type plaque donnant une formulation 2-dimensionnelle après passage à la limite. Le modèle obtenu est déterministe. Puis, en utilisant ce résultat pour chacune des plaques, on obtient ainsi une énergie discrète (suivant x3), somme des n énergies 2-dimensionnelles homogènes et déterministes. Nous reconstruisons alors une structure 3D par une intégration variationnelle en x3, i.e. en passant à la limite en n de manière variationnelle. L'énergie limite, homogène et déterministe ainsi obtenue est proposée comme un modèle du TexSol. Nos différents résultats sont validés par une étude numérique.
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