Mathematical study and numerical approximation of homogenized metamaterials
Etude mathématique et numérique de modèles homogénéisés de métamatériaux
Résumé
This thesis carries out some studies concerning the mathematical modelling and the numerical approximation of problems involving homogenized metamaterials. In the first part, we investigate wave propagation problems with homogenized metamaterials for Maxwell's equations and acoustics or linear elasticity systems. We establish that each of these systems is well-posed under assumptions that are relevant for some models already designed in the literature. We next tackle their numerical approximation. We give results showing that the finite element method for the approximation of Helmholtz equation, when metatmaterials are involved, may not converges. We propose then a numerical scheme, the EF-AL scheme, which can be used with metamaterials and we prove that it converges as soon as the considered problem is well-posed. We finish studying the discontinuous galerkin scheme. We show numerically its convergence for some examples of metamaterials. The second part presents a formal non-periodic homogenization process for acoustic metamaterials. The work of A.G. Ramm, designing a medium by assembling many obstacles, is extended meanwhile accurately describing the asymptotic behavior of the field scattered by a finite number of small ball of radius \delta. The method of matched asymptotic expansions is used. We establish existence and uniqueness of the latter expansion and prove error estimates giving it a theoretical background. Next we assume that the number of small obstacles grows to infinity when \delta goes to 0 and pass to the limit in the asymptotic expansion. A Born approximation then yields the refractive index of an effective medium packaging all the small bodies which corresponds, in some cases, to a metamaterial.
Cette thèse concerne la modélisation mathématique et l'approximation numérique de modèles homogénéisés de métamatériaux. Dans la première partie on étudie des problèmes de propagation d'ondes en présence de métamatériaux homogénéisés tels que les équations de Maxwell, le système de l'acoustique ou de l'élasticité linéaire. Nous établissons des résultats d'existence et d'unicité pour ces systèmes sous des hypothèses phénoménologiques sur le métamatériau en accord avec certains modèles de la littérature. Nous abordons ensuite leurs approximations numériques. Nous présentons des résultats concernant les éléments finis pour l'approximation de l'équation de Helmholtz qui montrent que ce schéma peut ne pas converger en présence de métamatériaux. On propose alors un schéma adapté aux métamatériaux, le schéma EF-AL, qui converge dès que le problème est bien-posé. On termine par l'étude du schéma Galerkin Discontinu dont on montre numériquement sa convergence sur des exemples de métamatériaux. La seconde partie présente l'homogénéisation non-périodique formelle de métamatériaux acoustiques. Les travaux d'A.G. Ramm sur la création de milieux à partir d'assemblages d'obstacles sont repris afin de préciser l'asymptotique fine du comportement du champ diffracté par un nombre fini de petites boules de rayon \delta. On utilise pour cela la méthode des développements asymptotiques raccordés. On établit l'existence et l'unicité de ce dernier et des estimations d'erreurs qui valident l'approche formelle. On suppose ensuite que le nombre de petits objets tend vers l'infini lorsque \delta tend vers 0 et passons à la limite dans le développement. Une approximation de Born permet d'obtenir l'indice du milieu contenant tous les objets qui, dans certains cas, est celui d'un métamatériau.
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