Combinatorial and algorithmic aspects of identifying codes in graphs
Aspects combinatoires et algorithmiques des codes identifiants dans les graphes
Résumé
We study combinatorial and algorithmic aspects of identifying codes in graphs. An identifying code is a set of vertices of a graph such that, on the one hand, each vertex out of the code has a neighbour in the code, and, on the other hand, all vertices have a distinct neighbourhood within the code. We characterize those graphs and digraphs that reach the known upper bounds on the minimum size of an identifying code. We also give new lower and upper bounds on this parameter for graphs of given maximum degree, graphs of girth at least 5, interval graphs and line graphs. Further, we study the computational complexity of the decision and optimization problems associated with the notion of an identifying code. We show that these problems remain computationally difficult, even when restricted to bipartite, co-bipartite, split, interval or line graphs. Finally, we give a \textsf{PTAS} algorithm for unit interval graphs.
Nous étudions des aspects combinatoires et algorithmiques relatifs aux codes identifiants dans les graphes. Un code identifiant est un ensemble de sommets d'un graphe tel que, d'une part, chaque sommet hors du code a un voisin dans le code et, d'autre part, tous les sommets ont un voisinage distinct à l'intérieur du code. Nous caractérisons tout d'abord les graphes orientés et non-orientés atteignant les bornes supérieures connues pour la taille minimum d'un code identifiant. Nous donnons également de nouveaux majorants et minorants sur ce paramètre pour les graphes de degré maximum donné, les graphes de maille au moins 5, les graphes d'intervalles et les graphes adjoints. Nous étudions ensuite la complexité algorithmique des problèmes de décision et d'optimisation associés à la notion de code identifiant. Nous montrons que ces problèmes restent algorithmiquement difficiles, même quand on les restreint aux graphes bipartis, co-bipartis, split, d'intervalles ou adjoints. Enfin, nous donnons un algorithme PTAS pour les graphes d'intervalles unitaires.