Estimations pour les modèles de Markov cachés et approximations particulaires. Application à la cartographie et à la localisation simultanées. - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2012

Inference in hidden Markov models and particle approximations. Application to the simultaneous localization and mapping problem.

Estimations pour les modèles de Markov cachés et approximations particulaires. Application à la cartographie et à la localisation simultanées.

Résumé

This thesis is dedicated to inference problems in hidden Markov models. The first part is devoted to an online maximum likelihood estimation procedure which does not store the observations. The aim is to produce parameter estimates sequentially as the observations are received. We propose a new Expectation Maximization based method called the Block Online Expectation Maximization (BOEM) algorithm. This algorithm solves the online estimation problem for hidden Markov models with general state-spaces and observation spaces. In many situations, the BOEM algorithm requires the introduction of Sequential Monte Carlo methods (also known as particle methods) to approximate expectations under the fixed interval smoothing distributions. The convergence of the algorithm is shown under the assumption that the Lp mean error due to the Monte Carlo approximation of these expectations can be controlled explicitly as a function of the number of observations and of the number of particles. Therefore, a second part of this thesis establishes such controls for several Sequential Monte Carlo methods (the Forward Filtering Backward Smoothing algorithm and the Forward Filtering Backward Simulation algorithm). This BOEM algorithm combined with Monte Carlo approximations is then used to solve two Simultaneous Localization and Mapping Problems. These problems arise when a mobile (a robot or a human being equipped with sensors) evolves in an unknown environment and seeks to localize itself and to build a map of this environment. In the first problem, the map is made of landmarks and the observations are given by the distance and angular position of each landmark in the neighborhood of the mobile. In the second example, the mobile evolves in a sensor networks and receives WiFi signals from several access points. Finally, the last part of this thesis is dedicated to a nonparametric estimation problem in hidden Markov models. It is assumed that the Markov chain (Xk) is a random walk lying in a compact set with incremental distribution known up to a scaling factor a. At each time step k, the observations Yk is a noisy observation of f(Xk) where f is an unknown function. We establish the identifiability of the statistical model and we propose estimators of f and a based on the pairwise likelihood of the observations. We also show the consistency of these estimators.
Dans cette thèse, nous nous intéressons à l'estimation de paramètres dans les chaînes de Markov cachées dans un cadre paramétrique et dans un cadre non paramétrique. Dans le cas paramétrique, nous imposons des contraintes sur le calcul de l'estimateur proposé : un premier volet de cette thèse est l'estimation en ligne d'un paramètre au sens du maximum de vraisemblance. Le fait d'estimer en ligne signifie que les estimations doivent être produites sans mémoriser les observations. Nous proposons une nouvelle méthode d'estimation en ligne pour les chaînes de Markov cachées basée sur l'algorithme Expectation Maximization appelée Block Online Expectation Maximization (BOEM). Cet algorithme est défini pour des chaînes de Markov cachées à espace d'état et espace d'observations généraux. La consistance de l'algorithme ainsi que des vitesses de convergence en probabilité ont été prouvées. Dans le cas d'espaces d'états généraux, l'implémentation numérique de l'algorithme BOEM requiert d'introduire des méthodes de Monte Carlo séquentielles - aussi appelées méthodes particulaires - pour approcher des espérances conditionnelles sous des lois de lissage qui ne peuvent être calculées explicitement. Nous avons donc proposé une approximation Monte Carlo de l'algorithme BOEM appelée Monte Carlo BOEM. Parmi les hypothèses nécessaires à la convergence de l'algorithme Monte Carlo BOEM, un contrôle de la norme Lp de l'erreur d'approximation Monte Carlo explicite en fonction du nombre d'observations T et du nombre de particules N est nécessaire. Par conséquent, une seconde partie de cette thèse a été consacrée à l'obtention de tels contrôles pour plusieurs méthodes de Monte Carlo séquentielles : l'algorithme Forward Filtering Backward Smoothing et l'algorithme Forward Filtering Backward Simulation. Ensuite, nous considérons des applications de l'algorithme Monte Carlo BOEM à des problèmes de cartographie et de localisation simultanées. Ces problèmes se posent lorsqu'un mobile se déplace dans un environnement inconnu. Il s'agit alors de localiser le mobile tout en construisant une carte de son environnement. Enfin, la dernière partie de cette thèse est relative à l'estimation non paramétrique dans les chaînes de Markov cachées. Le problème considéré a été très peu étudié et nous avons donc choisi de l'aborder dans un cadre précis. Nous supposons que la chaîne (Xk) est une marche aléatoire sur un sous-espace compact de Rm dont la loi des incréments est connue à un facteur d'échelle a près. Nous supposons également que, pour tout k, Yk est une observation dans un bruit additif gaussien de f(Xk), où f est une fonction à valeurs dans Rl que nous cherchons à estimer. Le premier résultat que nous avons établi est l'identifiabilité du modèle statistique considéré. Nous avons également proposé une estimation de la fonction f et du paramètre a à partir de la log-vraisemblance par paires des observations. Nous avons prouvé la convergence en probabilité de ces estimateurs lorsque le nombre d'observations utilisées tend vers l'infini.
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Dates et versions

tel-00773405 , version 1 (13-01-2013)

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  • HAL Id : tel-00773405 , version 1

Citer

Sylvain Le Corff. Estimations pour les modèles de Markov cachés et approximations particulaires. Application à la cartographie et à la localisation simultanées.. Statistiques [math.ST]. Telecom ParisTech, 2012. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00773405⟩
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