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Theses Year : 2012

Rank two flat logagarithmic connections on the complex projective plane

Connexions plates logarithmiques de rang deux sur le plan projectif complexe

Gaël Cousin
  • Function : Author
  • PersonId : 935261

Abstract

In this thesis we study the properties of flat rank 2 logarithmic connections and their projectivized version which are Riccati foliations, mainly on the projective plane. The main invariant of such an object is its monodromy represention, which is a representation to SL2(C) or PSL2(C) of the fun- damental group of the complement of its polar locus. First, we investigate the property for Riccati foliations to be obtained as pull-backs of Riccati foliations over curves. Then, we study the Riccati foliations that cannot be obtained in this way but can be constructed from an algebraic solution of Painlev ́e VI equation. We classify them with respect to an action of the Ga- lois group of Q ̄ over Q. Finally, we study transversely projective foliations: these foliations are obtained by restricting Riccati foliations to sections of their underlying P1-bundle. We have a particular interest in Hilbert mod- ular foliations, the transverse structure of which we give a quite complete description. As a conclusion, we exhibit birational models on P2 for some Hilbert modular foliations.
Dans cette thèse on étudie les propriétés des connexions plates logarithmiques de rang 2 et leurs projectifies qui sont des feuilletages de Riccati, principalement sur le plan projectif. L'invariant principal d'un tel objet est sa représentation de monodromie, qui est une représentation vers SL2(C) ou PSL2(C) du groupe fondamental du complémentaire de son lieu polaire. Dans un premier temps, on étudie la propriété, pour un feuilletage de Riccati sur P2, d'être obtenu en tirant un en arrière un feuilletage de Riccati au dessus d'une courbe. Ensuite on s'intéresse aux feuilletages de Riccati qui ne sont pas construits de cette maniere et qui peuvent être obtenus a partir d'une solution algébrique de l'équation de Painleve VI. Nous les classons par orbites sous le groupe de Galois de Q ̄ sur Q. Finalement, on s'int ́eresse aux feuilletages transversalement projectifs : ces feuilletages s'obtiennent par restriction de feuilletages de Riccati a' des sections de leurs P1-fibres sous-jacents. On s'interesse particulierement aux feuilletages modulaires de Hilbert, dont on decrit assez finement la structure transverse. On conclut notre travail par l'exhibition de modeles birationnels sur P2 pour certains feuilletages modulaires de Hilbert.
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Dates and versions

tel-00779098 , version 1 (21-01-2013)

Identifiers

  • HAL Id : tel-00779098 , version 1

Cite

Gaël Cousin. Connexions plates logarithmiques de rang deux sur le plan projectif complexe. Variables complexes [math.CV]. Université Rennes 1, 2012. Français. ⟨NNT : RENN1 9905338 /2012201104434⟩. ⟨tel-00779098⟩
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