Trajectoires rugueuses, processus gaussiens et applications - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2012

Rough Paths, Gaussian Processes and Applications

Trajectoires rugueuses, processus gaussiens et applications

Nicolas Marie

Résumé

Topics of that thesis are the rough paths theory introduced by T. Lyons (1998) and its application, in particular to stochastic differential equations (SDE) and sensitivities analysis. Applications of theoretical results in biology and finance are also provided. On one hand, are extended the existence and computation of greeks Delta and Vega, well known sensitivities in finance, for SDE with bounded coefficients and centered, continuous Gaussian signals such there exists an enhanced Gaussian process over it. The fractional Brownian motion's case is particularly developed in order to provide an application of the computation of Vega to a financial model with stochastic volatility on one hand, and to numerical simulations on the other hand. On the other hand, is studied a generalization of a mean-reverting equation to the case of a one-dimensional, centered and continuous Gaussian signal : global existence and uniqueness of the solution, integrability, continuity and differentiability of the Itô map, existence of a Lp-converging approximation scheme with an almost-sure convergence rate, a large deviation principle, and the existence of a density with respect to the Lebesgue's measure. The study of that SDE family is applicated to pharmacokinetics.
Les principaux thèmes de cette thèse sont la théorie des trajectoires rugueuses développée par T. Lyons (1998) et ses applications, notamment à l'étude des équations différentielles stochastiques (EDS) et au calcul de sensibilités. Des applications potentielles des résultats théoriques en science du vivant et en finance y sont également développés. En premier lieu, sont étendues l'existence et l'expression des grecques Delta et Véga, sensibilités bien connues en finance, pour des EDS à coefficients bornés et dirigées par un processus gaussien multidimensionnel centré, à trajectoires continues, au-dessus duquel il existe une trajectoire géométrique naturelle. Le cas du mouvement brownien fractionnaire a particulièrement été développé afin de proposer d'une part, une application du calcul de Véga dans un modèle de marché financier à volatilité stochastique fractionnaire et d'autre part, d'effectuer des simulations. En second lieu, est étudiée une généralisation d'équation mean-reverting au cas d'un signal gaussien unidimensionnel, centré et à trajectoires continues : existence globale et unicité de la solution, intégrabilité, continuité et différentiabilité de l'application d'Itô, existence d'un schéma d'approximation convergeant dans tous les Lp avec une vitesse de convergence presque-sure, un principe de grandes déviations et, l'existence d'une densité par rapport à la mesure de Lebesgue. L'étude de cette famille d'EDS a débouché sur une application en pharmacocinétique.
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Dates et versions

tel-00783931 , version 1 (04-02-2013)
tel-00783931 , version 2 (06-01-2014)

Identifiants

  • HAL Id : tel-00783931 , version 1

Citer

Nicolas Marie. Trajectoires rugueuses, processus gaussiens et applications. Probabilités [math.PR]. Université Paul Sabatier - Toulouse III, 2012. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00783931v1⟩
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