Contributions aux méthodes de calcul basées sur l'approximation de tenseurs et applications en mécanique numérique - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2012

Contributions aux méthodes de calcul basées sur l'approximation de tenseurs et applications en mécanique numérique

Résumé

This thesis makes several contributions to the resolution of high dimensional problems in scientific computing, particularly for uncertainty quantification. We consider here variational problems formulated on tensor product spaces. We first propose an efficient preconditioning strategy for linear systems solved by iterative solvers using low-rank tensor approximations. The preconditioner is found as a low rank approximation of the inverse of the operator. A greedy algorithm allows to compute this approximation, possibly imposing symmetry or sparsity properties. This preconditioner is validated on symmetric and non-symmetric linear problems. We also make contributions to direct tensor approximation methods which consist in computing the best approximation of the solution of an equation in a set of low-rank tensors. These techniques, sometimes coined "Proper Generalized Decomposition" (PGD), define optimality with respect to suitable norms allowing an a priori approximation of the solution. In particular, we extend the classically used greedy algorithms to the sets of Tucker tensors and hierarchical Tucker tensors. To do so, we construct successive rank one corrections and update the approximation in the previous sets. The proposed algorithm can be interpreted as a construction of an increasing sequence of reduced spaces in which we compute a possibly approximate projection of the solution. The application of these methods to symmetric and non-symmetric problems shows the efficiency of this algorithm. The proposed preconditioner is also applied and allows to define a better norm for the approximation of the solution. We finally apply these methods to the numerical homogenization of heterogeneous materials whose geometry is extracted from images. We first present particular treatment of the geometry and the boundary conditions to use them in the tensor approximation framework. An adaptive approximation procedure based on an a posteriori error estimator is proposed to ensure a given accuracy on the quantities of interest which are the effective properties. The method is first developed to estimate effective thermal properties, and is extended to linear elasticity.
Cette thèse apporte différentes contributions à la résolution de problèmes de grande dimension dans le domaine du calcul scientifique, en particulier pour la quantification d'incertitudes. On considère ici des problèmes variationnels formulés dans des espaces produit tensoriel. On propose tout d'abord une stratégie de préconditionnement efficace pour la résolution de systèmes linéaires par des méthodes itératives utilisant des approximations de tenseurs de faible rang. Le préconditionneur est recherché comme une approximation de faible rang de l'inverse. Un algorithme glouton permet le calcul de cette approximation en imposant éventuellement des propriétés de symétrie ou un caractère creux. Ce préconditionneur est validé sur des problèmes linéaires symétriques ou non symétriques. Des contributions sont également apportées dans le cadre des méthodes d'approximation directes de tenseurs qui consistent à rechercher la meilleure approximation de la solution d'une équation dans un ensemble de tenseurs de faibles rangs. Ces méthodes, parfois appelées "Proper Generalized Decomposition" (PGD), définissent l'optimalité au sens de normes adaptées permettant le calcul a priori de cette approximation. On propose en particulier une extension des algorithmes gloutons classiquement utilisés pour la construction d'approximations dans les ensembles de tenseurs de Tucker ou hiérarchiques de Tucker. Ceci passe par la construction de corrections successives de rang un et de stratégies de mise à jour dans ces ensembles de tenseurs. L'algorithme proposé peut être interprété comme une méthode de construction d'une suite croissante d'espaces réduits dans lesquels on recherche une projection, éventuellement approchée, de la solution. L'application à des problèmes symétriques et non symétriques montre l'efficacité de cet algorithme. Le préconditionneur proposé est appliqué également dans ce contexte et permet de définir une meilleure norme pour l'approximation de la solution. On propose finalement une application de ces méthodes dans le cadre de l'homogénéisation numérique de matériaux hétérogènes dont la géométrie est extraite d'images. On présente tout d'abord des traitements particuliers de la géométrie ainsi que des conditions aux limites pour mettre le problème sous une forme adaptée à l'utilisation des méthodes d'approximation de tenseurs. Une démarche d'approximation adaptative basée sur un estimateur d'erreur a posteriori est utilisée afin de garantir une précision donnée sur les quantités d'intérêt que sont les propriétés effectives. La méthodologie est en premier lieu développée pour l'estimation de propriétés thermiques du matériau, puis est étendue à l'élasticité linéaire.
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Dates et versions

tel-00861986 , version 1 (14-09-2013)

Identifiants

  • HAL Id : tel-00861986 , version 1

Citer

Loïc Giraldi. Contributions aux méthodes de calcul basées sur l'approximation de tenseurs et applications en mécanique numérique. Analyse numérique [math.NA]. Ecole Centrale de Nantes (ECN), 2012. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00861986⟩
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