Growth of balls in the universal cover of graphs and surfaces
Croissance du volume des boules dans les revêtements universels des graphes et surfaces.
Résumé
This thesis deals with global Riemannian geometry without curvature assumptions and its link to topology, we focus on the maximal volume of balls of fixed radius in the universal covers of graphs and surfaces. In the first part, we prove that if the area of a closed Riemannian surface M of genus at least two is sufficiently small with respect to its hyperbolic area, then for every radius R>0 the universal cover of M contains an R-ball with area at least the area of a cR-ball in the hyperbolic plane, where c<1 is a universal positive constant. In particular (taking the area of M smaller if needed), we prove that for every radius R greater or equal to 1, the universal cover of M contains an R-ball with area at least the area of a ball with the same radius in the hyperbolic plane. This result answers positively a question of L. Guth for surfaces. We also prove an analog result for graphs. Specifically, we prove that if Gamma is a connected metric graph of first Betti number b and of length sufficiently small with respect to the length of a connected trivalent graph Gamma_b of the same Betti number where the length of each edge is 1, then for every radius R>0 the universal cover of Gamma contains an R-ball with length at least c times the length of an R-ball in the universal cover of Gamma_b, where c is in the interval (1/2,1) is a universal constant. In the second part, we generalize a theorem of M. Gromov concerning the maximal number of homotopically independentshort loops based at the same point . Specifically, we prove that on every closed Riemannian surface M of genus g and area normalized to g there exist at least log(2g) homotopically independent loops based at the same point of length at most C log(g), where C is some positive constant independent from the genus. As an immediate corollary of this theorem, we recapture the asymptotic systolic inequality on the separating systole. We also prove a similar theorem for metric graphs. Precisely, we prove that on every metric graph Gamma of first Betti number and length b, there exist at least log(b) homologically independent loops based at the same point of length at most 48 log(b). That extends Bollobàs-Szemerédi-Thomason's log(b) bound on the homological systole to at least log(b) homologically independent loops based at the same point. Moreover, we give examples of graphs where our result is optimal (up to a multiplicative constant).
Dans le cadre de la géométrie riemannienne globale sans hypothèse de courbure en lien avec la topologie, nous nous intéressons au volume maximal des boules de rayon fixé dans les revêtements universels des graphes et des surfaces. Dans la première partie, nous prouvons que si l'aire d'une surface riemannienne fermée M de genre au moins 2 est suffisamment petite par rapport à son aire hyperbolique, alors pour chaque rayon R>0, le revêtement universel de M contient une R-boule d'aire au moins l'aire d'une cR-boule dans le plan hyperbolique, où c<1 est une constante universelle. En particulier (quitte à prendre l'aire de la surface encore plus petite), nous démontrons que pour chaque rayon R plus grand ou égal à 1, le revêtement universel de M contient une R-boule d'aire au moins l'aire d'une R-boule dans le plan hyperbolique. Ce résultat répond positivement pour les surfaces, à une question de L. Guth. Nous démontrons également que si Gamma est un graphe connexe de premier nombre de Betti b et de longueur su suffisamment petite par rapport à la longueur d'un graphe trivalent Gamma_b de premier nombre de Betti b dont la longueur de chaque arête est 1, alors pour chaque rayon R>0, le revêtement universel de Gamma contient une R-boule d'aire au moins c fois l'aire d'une R-boule dans le revêtement universel de Gamma_b, où c est dans l'intervalle (1/2 ,1). Dans la deuxième partie, nous généralisons un théorème de M. Gromov concernant le nombre maximal de courts lacets homotopiquement indépendants basés en un même point. Plus précisément, nous prouvons que sur toute surface riemannienne fermée M de genre g et d'aire normalisée à g, il existe au moins log(2g) lacets homotopiquement indépendants basés en un même point de longueur au plus C log(g), où C est une constante positive indépendante du genre. Comme corollaire immédiat de ce théorème, nous redémontrons l'inégalité systolique asymptotique sur la systole séparante. Nous démontrons également un théorème analogue pour les graphes métriques. Plus précisément, nous prouvons que sur chaque graphe métrique Gamma de premier nombre de Betti b et de longueur b, il existe au moins log(b) lacets homologiquement indépendants basés en un même point de longueur au plus 48 log(b). Ce résultat étend la borne en log(b) sur la systole homologique dûe à Bollobàs-Szemerédi-Thomason à au moins log(b) lacets homologiquement indépendants basés en un même point. En outre, nous donnons des exemples de graphes où notre résultat est optimal (à une constante multiplicative près).
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