Numerical methods for hyperbolic equations of Saint-Venant type.
Méthodes numériques pour des équations hyperboliques de type Saint-Venant.
Résumé
The purpose of the dissertation is to contribute to the numerical study of hyperbolic conservation laws with source terms, motivated by the application to the Saint-Venant equations for shallow waters. The first part deals with usual questions in the analysis of numerical approximations for scalar conservation laws. We focus on semi-discrete finite volume schemes, in the general case of a nonuniform spatial mesh. To define appropriate discretizations of the source term, we introduce the formalism peculiar to the "Upwind Interface Source" method and we establish conditions on the numerical functions so that the discrete solver preserves the stationary solutions. Then we formulate a rigorous definition of consistency, adapted to "well-balanced schemes", for which we are able to prove a Lax-Wendroff type convergence theorem. The method first considered is essentially first order. To improve accuracy, we develop high resolution approaches for the "Upwind Interface Source" method and we show that these are efficient ways to derive higher order schemes with suitable properties. We prove an error estimate in $L^p$, $1\le p < +\infty$, which is an optimal result in the case of a uniform mesh. We thus conclude that the same convergence rates $O(h)$ and $O(h^2)$ hold as for the corresponding homogeneous systems. The second part presents a numerical scheme to compute Saint-Venant equations, with a geometrical source term, which satisfies the following theoretical properties: it preserves the steady states of still water, it satisfies a discrete entropy inequality, it preserves the non-negativity of the height of water and remains stable with a discontinuous bottom. This is achieved by means of a kinetic approach to the system ; in this context, we use a natural description of the microscopic behaviour of the system to define numerical fluxes at the interfaces of an unstructured mesh. We also use the concept of cell-centered conservative quantities (typical of the finite volume method) and upwind interfacial sources. Finally, we present some numerical simulations of the Saint-Venant system modified by including small friction and viscosity, in order to recover the results of experimental studies. An application to the numerical modelling of friction terms for debris avalanches is proposed in the Appendix.
L'objet de la thèse est de contribuer à l'étude numérique des lois de conservation hyperboliques avec termes sources, ce qui est motivé par les applications aux équations de Saint-Venant pour les eaux peu profondes. La première partie traite des questions habituelles de l'analyse des approximations numériques des lois de conservation scalaires. On se concentre sur des schémas aux volumes finis semi-discrets, dans le cas général d'un maillage non-uniforme. Pour définir des discrétisations appropriées du terme source, on introduit le formalisme spécifique de la méthode "Upwind Interface Source" et on établit des conditions sur les fonctions numériques telles que le solveur discret préserve les solutions stationnaires. Une définition rigoureuse de consistance est ensuite formulée, adaptée aux "schémas équilibres", pour laquelle on est capable de prouver un théorème de convergence faible de type Lax-Wendroff. La méthode considérée dans un premier temps est essentiellement d'ordre un en espace. Pour améliorer la précision, on développe des approches à haute résolution pour la méthode "Upwind Interface Source" et on montre que celles-ci sont un moyen efficace de dériver des schémas d'ordre plus élevé avec des propriétés convenables. On prouve une estimation d'erreur dans $L^p$, $1\le p < +\infty$, qui est un résultat optimal dans le cas d'un maillage uniforme. On conclut alors que les mêmes taux de convergence $O(h)$ et $O(h^2)$ que pour les systèmes homogènes correspondants sont valables. La deuxième partie présente un schéma numérique pour approcher les équations de Saint-Venant, avec un terme source géométrique, qui vérifie les propriétés théoriques suivantes: il préserve les états stationnaires de l'eau au repos, vérifie une inégalité d'entropie discrète, préserve la positivité de la hauteur de l'eau et reste stable avec des profiles du fond discontinus. Cela est obtenu grâce à une approche cinétique au système; dans ce contexte, on utilise une description formelle du comportement microscopique du système pour définir les flux numériques aux interfaces d'un maillage non-structuré. On utilise aussi le concept de variables conservatives centrées (typique de la méthode des volumes finis) et des termes sources décentrés aux interfaces. Finalement, on présente des simulations numériques du système des équations de Saint-Venant modifiées pour prendre en compte le frottement et la viscosité, afin de retrouver les résultats de certaines études expérimentales. Une application à la modélisation des termes de frottement pour les avalanches de neige est discutée dans l'Appendice.