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Theses Year : 2013

Polynomial systems solving and elliptic curve cryptography

Résolution de systèmes polynomiaux et cryptologie sur les courbes elliptiques

Louise Huot
  • Function : Author
  • PersonId : 925468

Abstract

Since the last decade, attacks on the elliptic curve discrete logarithm problem (ECDLP) which requires to solve polynomial systems have been quite successful. This thesis takes place in this context and the contributions are twofold. On the one hand, we present new tools for solving polynomial systems by using Gröbner bases. First, we investigate polynomial systems with symmetries. We show that solving such a system is closely related to solving quasi-homogeneous systems. We thus propose new complexity bounds for solving systems with symmetries. Then, we study the bottleneck of polynomial systems solving: the change of ordering for Gröbner bases. The usual complexity of such algorithms is cubic in the number of solutions and dominates the overall complexity of polynomial systems solving. We propose for the first time change of ordering algorithms with sub-cubic complexity in the number of solutions. On the other hand, we investigate the index calculus attack of Gaudry to solve the elliptic curve discrete logarithm problem. We highlight some families of elliptic curves that admit particular symmetries. These symmetries imply an exponential gain in the complexity of solving the ECDLP. As a consequence, we obtain new security parameters for some instances of the ECDLP. One of the main steps of this attack requires to compute Semaev summation polynomials. The symmetries of binary elliptic curves allow us to propose a new algorithm based on evaluation-interpolation to compute their summation polynomials. Equipped with this algorithm we establish a new record for the computation of these polynomials.
Depuis ces dix dernières années, les attaques sur le logarithme discret sur les courbes elliptiques (ECDLP) mettant en jeu la résolution de systèmes polynomiaux connaissent un large succès. C'est dans ce contexte que s'inscrit cette thèse dont les contributions sont doubles. D'une part, nous présentons de nouveaux outils de résolution de systèmes polynomiaux par bases de Gröbner. Nous montrons que la résolution de systèmes avec symétries est étroitement liée à la résolution de systèmes quasi-homogènes. Nous proposons ainsi de nouveaux résultats de complexité pour la résolution de tels systèmes. Nous nous intéressons également à l'étape bloquante de la résolution de systèmes : le changement d'ordre pour bases de Gröbner. La complexité classique de cette étape est cubique en le nombre de solutions et domine la complexité totale de la résolution. Nous proposons pour la première fois des algorithmes de changement d'ordre de complexité sous-cubique en le nombre de solutions. D'autre part, nous nous intéressons à l'attaque du logarithme discret sur les courbes elliptiques par calcul d'indice proposée par Gaudry. Nous mettons en évidence des familles de courbes elliptiques possédant des symétries particulières. Ces symétries impliquent un gain exponentiel sur la complexité de la résolution du ECDLP. Nous obtenons ainsi de nouveaux paramètres de sécurité pour certaines instances du ECDLP. Une des étapes principales de cette attaque nécessite le calcul de polynômes de sommation introduits par Semaev. Les symétries des courbes elliptiques binaires nous permettent d'élaborer un nouvel algorithme par évaluation-interpolation pour le calcul des polynômes de sommation. Munis de cet algorithme nous établissons un nouveau record pour le calcul de ces polynômes.
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Dates and versions

tel-00925271 , version 1 (07-01-2014)

Identifiers

  • HAL Id : tel-00925271 , version 1

Cite

Louise Huot. Polynomial systems solving and elliptic curve cryptography. Symbolic Computation [cs.SC]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2013. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00925271⟩
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