Some contributions to numerical analysis of stochastic equations
Quelques contributions à l'analyse numérique d'équations stochastiques
Résumé
This work presents some results about behavior in long time and in finite time of numerical methods for stochastic equations.In a first part, we are considered with overdamped Langevin Stochastic Differential Equations (SDE) and Langevin SDE. We show a weak backward error analysis result for its numerical approximations defined by implicit methods. In particular, we prove that the generator associated with the numerical solution coincides with the solution of a modified Kolmogorov equation up to high order terms with respect to the stepsize. This implies that every measure of the numerical scheme is close to a modified invariant measure obtained by asymptotic expansion. Moreover, we prove that, up to negligible terms, the dynamic associated with the implicit scheme considered is exponentially mixing.In a second part, we study the long-time behavior of fully discretized semilinear SPDEs with additive space-time white noise, which admit a unique invariant probability measure μ. We focus on the discretization in time thanks to a scheme of Euler type, and on a Finite Element discretization in space and we show that the average of regular enough test functions with respect to the (possibly non unique) invariant laws of the approximations are close to the corresponding quantity for μ.More precisely, we analyze the rate of the convergence with respect to the different discretization parameters. Finally, we are concerned with semilinear SPDEs with additive space-time white noise, which the nonlinear term is a polynomial function. We analyze the rate of the weak convergence for discretization in time with an implicit splitting method.
Ce travail présente quelques résultats concernant le comportement en temps fini et en temps long de méthodes numériques pour des équations stochastiques. On s'intéresse d'abord aux équations différentielles stochastiques de Langevin et de Langevin amorti. On montre un résultat concernant l'analyse d'erreur faible rétrograde de ses équations par des schémas numériques implicites. En particulier, on montre que l'erreur entre le générateur associé au schéma numérique et la solution d'une équation de Kolmogorov modifiée est d'ordre élevé par rapport au pas de discrétisation. On montre aussi que la dynamique associée au schéma numérique est exponentiellement mélangeante. Dans un deuxième temps, on étudie le comportement en temps long d'une discrétisation en temps et en espace d'une EDPS semi-linéaire avec un bruit blanc additif, qui possède une unique mesure invariante . On considère une discrétisation en temps par un schéma d'Euler et en espace par une méthode des éléments finis. On montre que la moyenne, par rapport aux lois invariantes (qui n'est pas forcément unique) associées à l'approximation, par des fonctions tests suffisamment régulières est proche de la quantité correspondante pour µ. Plus précisément, on étudie la vitesse de convergence par rapport aux différents paramètres de discrétisation. Enfin, on s'intéresse à une EDPS semi-linéaire avec un bruit blanc additif dont le terme non-linéaire est un polynôme. On étudie la convergence au sens faible d'une approximation en temps par un schéma de splitting implicite.
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